回転体の体積を求める ~できるだけ簡単に解く！~

体積の求め方！

• 底面積×高さ（錐なら\(\frac{1}{3}\)倍）

超簡単！体積の求め方☆

 

 

問題　図のように\(1\)辺の長さが\(2cm\)の正方形を\(7\)枚使った図形があります。この図形を直線ℓを回転の軸として\(1\)回転させてできる回転体の体積を求めなさい。

 

回転体の体積を求める方法を考える

• 直で求める方法
• 簡単に求める方法

「直で求める方法」は、特に何も考えず求めたい体積をガンガン計算していきましょう！

「簡単に求める方法」は気づけば簡単に解くことができますが、気づくまでに時間がかかるかもしれません。

 

直で求める方法

 

 

回転体\(A\)の体積

円の面積、円周の求め方！

底面は半径\(2cm\)の円で、高さ\(2cm\)だから

\(\pi ×2^2×2=8\pi~(cm^3)\)

 

 

回転体\(BC\)の体積

底面は半径\(4cm\)の円で、高さ\(2cm\)だから

\(\pi ×4^2×2=32\pi~(cm^3)\)

 

 

回転体\(DE\)の体積

回転体\(DE\)=回転体\(DEA’\)-回転体\(A’\)

「底面の半径\(6cm\)の円で、高さ\(2cm\)の円柱」から「底面の半径\(2cm\)の円で、高さ\(2cm\)の円柱」をひけばいいから

\(\pi ×6^2×2-\pi ×2^2×2\\=72\pi -8\pi\\=64\pi~(cm^3)\)

 

 

回転体\(FG\)の体積

回転体\(FG\)=回転体\(FGB’C’\)-回転体\(B’C’\)

先ほどと同様に考えて

「底面の半径\(8cm\)の円で、高さ\(2cm\)の円柱」から「底面の半径\(4cm\)の円で、高さ\(2cm\)の円柱」をひけばいいから

\(\pi ×8^2×2-\pi ×4^2×2\\=128\pi -32\pi\\=96\pi~(cm^3)\)

 

 

すべてをたして答えを出す！

\(8\pi +32\pi +64\pi +96\pi =200\pi\)

答え　\(200\pi~(cm^3)\)

 

 

 

簡単に求める方法

回転体\(A\)を\(A’\)へ、回転体\(BC\)を\(B’C’\)へあてはめる

「回転体\(DEA\)＋回転体\(FGBC\)」を求めればおしまい！

回転体\(DEA\)の体積

底面は半径\(6cm\)の円で、高さ\(2cm\)だから

\(\pi ×6^2×2=72\pi~(cm^3)\)

 

回転体\(FGBC\)の体積

底面は半径\(8cm\)の円で、高さ\(2cm\)だから

\(\pi ×8^2×2=128\pi~(cm^3)\)

 

よって、求める体積は

\(72\pi +128\pi =200\pi\)

答え　\(200\pi~(cm^3)\)

 

 

まとめ

計算量は「簡単に求める方法」が圧倒的に少ないです。しかし、気づくまでに時間がかかっては意味がありません。簡単に解くことにこだわらず、トータルで早く正確に解く方法がいいでしょう！