放物線と直線②

一次関数のグラフ ~最初に知っておくこと~

二次関数 ~めっちゃわかる基本!~ 

 

 

 

問題 関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフで、グラフ上の点を \(A\)、\(B\)とします。また、点\(A\)、\(B\)の \(x\)座標をそれぞれ\(-6\)、\(2\)とします。直線\(AB\)と \(x\)軸との交点を \(C\)とするとき、次の問いに答えなさい。

二次関数,入試,問題

(1)関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)について、\(x\)の変域が \(-6≦x≦2\)のとき \(y\)の変域を求めなさい。

(2)直線\(AB\)の式を求めなさい。

(3)関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に \(x\)座標が正である点\(D\)をとります。△\(OCD\)の面積が\(12\)になるとき、点\(D\)の座標を求めなさい。

 

 

変域は確実に正解できるようにしよう!

(1)関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)について、\(x\)の変域が \(-6≦x≦2\)のとき \(y\)の変域を求めなさい。

二次関数 ~変域なんて楽勝!~

\(x\)の変域に \(0\)が含まれている!

\(x=-6\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(y=\frac{1}{2}×(-6)^2\\y=18\)

よって

答え \(0≦y≦18\)

 

 

(2)直線\(AB\)の式を求めなさい。

 

二次関数,入試,問題

\(x=-6\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(y=\frac{1}{2}×(-6)^2\\y=18\)

よって

\(A(-6,18)\)

 

\(x=2\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(y=\frac{1}{2}×2^2\\y=2\)

よって

\(B(2,2)\)

 

\(A(-6,18)\)、\(B(2,2)\)より

一次関数 ~グラフから関数の式を答える~

傾き\(=\frac{2-18}{2-(-6)}\\=\frac{-16}{8}\\=-2\)

よって

\(y=-2x+b\)

これが

\(B(2,2)\)を通るから

\(2=-2×2+b\\2=-4+b\\b=6\)

よって

答え \(y=-2x+6\)

 

 

方程式を作って求めよう!

(3)関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に \(x\)座標が正である点\(D\)をとります。△\(OCD\)の面積が\(12\)になるとき、点\(D\)の座標を求めなさい。

二次関数,入試,問題

 

点\(C\)の座標を求める!

\(y=0\)を \(y=-2x+6\)に代入して

\(0=-2x+6\\2x=6\\x=3\)

よって

\(C(3,0)\)

 

わかることを図に書き込む!

二次関数,入試,問題

  • 三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)

面積と底辺がわかるから、「方程式を作って」高さを求めることができる!
また、高さは 点\(D\)の \(y\)座標である。

\(12=3×Dy×\frac{1}{2}\\24=3Dy\\Dy=8\)

点\(D\)は放物線 \(y=\frac{1}{2}x^2\)上の点だから

\(y=8\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(8=\frac{1}{2}x^2\\16=x^2\\x^2-16=0\\(x+4)(x-4)=0\)

因数分解 ~何かの2乗を探す~

\(x>0\)より

\(x=4\)

よって

答え \(D(4,8)\)

 

 

まとめ

放物線と直線の問題パターンに慣れてしまえば、”こんなものか”と思えるようになります!

ポイントになるのは、やはり基礎基本です☆

  • 直線の求め方
  • 座標の求め方
  • 方程式の解き方
  • 因数分解の解き方

不安な人はこの辺を復習するといいと思います!


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