不思議な数(循環小数) ~循環小数⇄分数~

漢字の意味からイメージを通りだと思います☆

  • 循環・・・繰り返すこと
  • 小数・・・絶対値が0より大きく、1より小さい数

循環小数とは

◯ 小数部分で同じ数字が繰り返されることである!

 

なぜ循環小数が「平方根」の単元に組み込まれているのか?

それは「小数部分がずっと続く」ことが無理数と共通するからです!

平方根 超簡単にわかる!~有理数と無理数~

 

 

循環小数のルール

循環小数とは小数部分が繰り返されることです!

例えば

① \(0.333…\)

② \(1.111…\)

 

③ \(0.323232…\)

④ \(0.057057057…\)

 

 

①②、③④では繰り返される数字の数が違います!

しかしどちらも循環小数です☆

 

 

「循環小数のルール!」

  • 数字の上に「・」をつけると繰り返しの合図!

① \(0.333…\)\(=0.\dot{3}\)

② \(1.111…\)\(=1.\dot{1}\)

  • 2つめの「・」は繰り返し終わりの合図!

③ \(0.323232…\)\(=0.\dot{3}\dot{2}\)

④ \(0.057057057…\)\(=0.\dot{0}5\dot{7}\)

 

問題 次の分数を循環小数で表しなさい。

(1)\(\frac{5}{6}\)

(2)\(\frac{12}{11}\)

 

割り算をして循環小数にする!

(1)\(\frac{5}{6}\)

\(\frac{5}{6}=0.8333…=0.8\dot{3}\)

答え \(0.8\dot{3}\)

 

(2)\(\frac{12}{11}\)

\(\frac{12}{11}=1.0909…=1.\dot{0}\dot{9}\)

答え \(1.\dot{0}\dot{9}\)

 

 

循環小数を分数に直す

\(0.0\dot{3}\)を分数で表す!

  • \(0.03=\frac{3}{100}\)
  • \(0.0\dot{3}≠\frac{3}{100}\)

例題 \(0.0\dot{3}\)を分数で表しなさい。

 

10倍して小数点をズラし、繰り返される部分を消す!

\(x=0.0\dot{3}…\)①とする

両辺を\(10\)倍して

\(10x=0.\dot{3}…\)②

②-①より

\(~~~~10x=0.3333…\\ \underline{-)~~~x=0.0333…}\\ ~~~~~~9x=0.3\\ ~~~~~~9x=\frac{3}{10}\\ ~~~~~~~~x=\frac{1}{30} \)

答え \(\frac{1}{30}\)

 

 

 

問題 \(0.\dot{1}0\dot{8}\)を分数で表しなさい。

 

1000倍して小数点をズラし、繰り返される部分を消す!

\(x=0.\dot{1}0\dot{8}…\)①とする

両辺を\(1000\)倍して

\(1000x=\dot{1}0\dot{8}…\)②

②-①より

\( ~~~~1000x=108.108108…\\ \underline{ -)~~~~~~~~x=~~~~0.108108…}\\ ~~~~~~999x=108\\ ~~~~~~111x=12\\ ~~~~~~~~~~~~x=\frac{12}{111} \)

答え \(\frac{12}{111}\)

 

 

まとめ

循環小数のルール

  • 数字の上に「・」をつけると繰り返しの合図!
  • 2つめの「・」は繰り返し終わりの合図!

循環小数を分数にする

  • \(10^n\)倍して小数点をズラす!
  • ひき算して繰り返される部分を消す!

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