平方根　~式の値~

式の値を求めるときはいきなり代入せずに、まず「式をできるだけ簡単にする」ことがポイントです！

賢く無駄なく問題を解きましょう☆

まず因数分解する⁉︎

ポイント

• 「因数分解してから代入する」と式の値を簡単に求めることができるか？
• 「そのまま代入する」と式の値を簡単に求めることができるか？

式の値を求めるときは「式を簡単にしてから代入」が基本です！

 

因数分解をして一概に問題が早く解けるかどうかは正直わかりません💦

しかし、それを知って問題に臨むことが大切です☆

 

問題　次の式の値を求めなさい。

（１）\(x=3\sqrt{5}\)のとき、\(x^2+6x+1\)の値

（２）\(x=\sqrt{2}+4\)のとき、\(x^2-16\)の値

（３）\(x=\sqrt{2}+3\)のとき、\(x^2-6x-7\)の値

（４）\(x=\sqrt{5}\)のとき、\(6x^2+2\)の値

（５）\(x=1-\sqrt{3}\)のとき、\(x^2-2x-3\)の値

 

 

 

（１）\(x=3\sqrt{5}\)のとき、\(x^2+6x+1\)の値

まず因数分解する⁉︎

「因数分解できない」からそのまま代入して

\((3\sqrt{5})^2+6×3\sqrt{5}+1\)

\(=45+18\sqrt{5}+1\)

\(=46+18\sqrt{5}\)

答え　\(46+18\sqrt{5}\)

 

 

 

（２）\(x=\sqrt{2}+4\)のとき、\(x^2-16\)の値

まず因数分解する⁉︎

\(x^2-16=(x+4)(x-4)…\)②

②に\(x=\sqrt{2}+4\)を代入して

\((\sqrt{2}+4+4)(\sqrt{2}+4-4)\)

\(=(\sqrt{2}+8)×(\sqrt{2})\)

\(=2+8\sqrt{2}\)

答え　\(2+8\sqrt{2}\)

 

 

 

（３）\(x=\sqrt{2}+3\)のとき、\(x^2-6x-7\)の値

まず因数分解する⁉︎

\(x^2-6x-7=(x-7)(x+1)…\)③

③に\(x=\sqrt{2}+3\)を代入して

\((\sqrt{2}+3-7)(\sqrt{2}+3+1))\)

\(=(\sqrt{2}-4)(\sqrt{2}+4)\)

\(=\sqrt{2}^2-4^2\)

\(=2-16\)

\(=-14\)

答え　\(-14\)

 

 

 

（４）\(x=\sqrt{5}\)のとき、\(6x^2+2\)の値

まず因数分解する⁉︎

「因数分解せず」そのまま代入して

\(2(3x^2+1)\)ではあまり意味がない！

\(6(\sqrt{5})^2+2\)

\(=6×5+2\)

\(=32\)

答え　\(32\)

 

 

 

（５）\(x=1-\sqrt{3}\)のとき、\(x^2-2x-3\)の値

まず因数分解する⁉︎

\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)…\)⑤

⑤に\(x=1-\sqrt{3}\)を代入して

\((1-\sqrt{3}-3)(1-\sqrt{3}+1)\)

\(=(-2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\)

\(=-(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\)

\(=-\{2^2-(\sqrt{3})^2\}\)

\(=-(4-3)\)

\(=-1\)

答え　\(=-1\)

 

 

 

「式を簡単にしてから代入」が基本

式を簡単にするとは？・・・計算、展開をする

因数分解は「式を簡単にする」ではない！

今回のような問題では、そのまま代入するのが賢い解き方です☆

「問題（１）〜（５）」を解いて、早く解けた！とは正直実感できなかったと思います！

まず因数分解がすぐにできなければそこで時間を使ってしまいます！

今回のポイント

• 「式を簡単にしてから代入する！」（計算・展開）
• 因数分解は「式を簡単にする」ではない！