空間図形 ~平面が1つに決まるとは?~

反例を考える!

反例・・・その定義や命題に当てはまらないことを示す例

出典:デジタル大辞泉

 

問題1 次のa~eで、空間における平面\(P\)、直線\(ℓ\)、直線\(m\)について述べた文として正しいものを選び、記号で答えなさい。

a 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)上にあるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に交わる。

b 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)に平行であるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に平行である。

c 直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と垂直に交わっているとき、直線\(ℓ\)は平面\(P\)に常に垂直である。

d 平面\(P\)と交わる直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と交わらないとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常にねじれの位置にある。

 

 

a 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)上にあるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に交わる。

\(ℓ//m\)のとき交わらないので正しくない!

 

b 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)に平行であるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に平行である。

図のように交わる場合は正しくない!

空間図形,面,平行

c 直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と垂直に交わっているとき、直線\(ℓ\)は平面\(P\)に常に垂直である。

\(ℓ\)が平面\(P\)上にあるとき、\(ℓ\)と平面\(P\)は垂直でない!

空間図形,正しい,問題

d 平面\(P\)と交わる直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と交わらないとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常にねじれの位置にある。

正しい

 

よって

答え d

 

 

 

平面が1つに決まるとは?

ポイント!

  • 平面を厚紙、点を指先、直線を棒に置き換えて考える!
  • 厚紙(平面)が動かず固定されたら1つに決まっている!

 

問題2 次の文章で、平面が1つに決まらないものを選び、記号で答えなさい。

a 1直線上にない3点\(A,B,C\)を含む平面

b 平行な2直線を含む平面

c 2点\(A,B\)を含む平面

 

 

a 1直線上にない3点\(A,B,C\)を含む平面

厚紙を指先3本で持つことができれば平面が決まる!

空間図形,平面,決まる

 

b 平行な2直線を含む平面

厚紙を棒2本で持つことができれば平面が決まる!

空間図形,平面,決まる

     2本で支えることができる!

 

c 2点\(A,B\)を含む平面

厚紙を指先2本で持つことは できない!

 

よって

答え c

◯ 「指先2本でつまむ」とかはダメです☆

 

 

 

まとめ
  • 正しいかどうかは「反例を考える」!
  • 平面を厚紙、点を指先、直線を棒に置き換えて考える!
  • 動かずに固定されたら平面が1つに決まっている!

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