空間図形 ~平面が1つに決まるとは?~
もくじ
反例を考える!
反例・・・その定義や命題に当てはまらないことを示す例
出典:デジタル大辞泉
問題1 次のa~eで、空間における平面\(P\)、直線\(ℓ\)、直線\(m\)について述べた文として正しいものを選び、記号で答えなさい。
a 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)上にあるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に交わる。
b 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)に平行であるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に平行である。
c 直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と垂直に交わっているとき、直線\(ℓ\)は平面\(P\)に常に垂直である。
d 平面\(P\)と交わる直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と交わらないとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常にねじれの位置にある。
a 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)上にあるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に交わる。
\(ℓ//m\)のとき交わらないので正しくない!
b 直線\(ℓ\)と直線\(m\)がともに平面\(P\)に平行であるとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常に平行である。
図のように交わる場合は正しくない!
c 直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と垂直に交わっているとき、直線\(ℓ\)は平面\(P\)に常に垂直である。
\(ℓ\)が平面\(P\)上にあるとき、\(ℓ\)と平面\(P\)は垂直でない!
d 平面\(P\)と交わる直線\(ℓ\)が平面\(P\)上にある直線\(m\)と交わらないとき、直線\(ℓ\)と直線\(m\)は常にねじれの位置にある。
正しい
よって
答え d
平面が1つに決まるとは?
ポイント!
- 平面を厚紙、点を指先、直線を棒に置き換えて考える!
- 厚紙(平面)が動かず固定されたら1つに決まっている!
問題2 次の文章で、平面が1つに決まらないものを選び、記号で答えなさい。
a 1直線上にない3点\(A,B,C\)を含む平面
b 平行な2直線を含む平面
c 2点\(A,B\)を含む平面
a 1直線上にない3点\(A,B,C\)を含む平面
厚紙を指先3本で持つことができれば平面が決まる!
b 平行な2直線を含む平面
厚紙を棒2本で持つことができれば平面が決まる!
2本で支えることができる!
c 2点\(A,B\)を含む平面
厚紙を指先2本で持つことは できない!
よって
答え c
◯ 「指先2本でつまむ」とかはダメです☆
まとめ
- 正しいかどうかは「反例を考える」!
- 平面を厚紙、点を指先、直線を棒に置き換えて考える!
- 動かずに固定されたら平面が1つに決まっている!