相似の問題10 ~テスト・受験対策~
問題 長方形\(ABCD\)で、\(AB=7\)、\(AD=10\)、\(AE=4\)、\(AF=3\)のとき次の問いに答えなさい。
（１）\(\triangle{EFC}\)の面積を求めなさい。
（２）点\(E\)を通る直線が辺\(BC\)と交わる点を\(G\)とし、線分\(FC\)と線分\(EG\)の交点を\(H\)とします。\(\triangle{EFC}=2\triangle{EFH}\)のとき、\(BG\)の長さを求めなさい。
もくじ
解き方をイメージしよう！
問題からわかることを図に書き込む！
（１）\(\triangle{EFC}\)の面積を求めなさい。
長方形から三角形①②③をひけばいい！
- \(\triangle{EFC}=\) 長方形\(ABCD-(①+②+③)\)
\(\triangle{EFC}~\)\(=7×10-(4×3×\frac{1}{2}+10×4×\frac{1}{2}+6×7×\frac{1}{2})\\=70-(6+20+21)\\=70-47\\=23\)
答え \(23\)
難しくて心が折れそう
（２）点\(E\)を通る直線が辺\(BC\)と交わる点を\(G\)とし、線分\(FC\)と線分\(EG\)の交点を\(H\)とします。\(\triangle{EFC}=2\triangle{EFH}\)のとき、\(BG\)の長さを求めなさい。
\(H\)を通り\(BC\)に平行な直線と\(AB\)の交点を\(I\)
\(A\)を通り\(EG\)に平行な直線と\(BC\)の交点を\(J\)
\(IH\)と\(AJ\)の交点を\(K\)とする
\(\triangle{EFC}=2\triangle{EFH}\)より
\(FC:FH=2:1\)
よって
\(FH:HC=1:1\)
\(IH//BC\)より
\(FH:FC=IH:BC\\1:2=IH:10\\1:1=IH:5\\IH=5\)
\(AE=KH=JG=4\)より
\(IK~\)\(=IH-KH\\=5-4\\=1\)
また、\(IH//BC\)より
\(FH:HC=FI:IB=1:1\)
\(IK//BJ\)より
\(AI:AB=IK:BJ\\5:7=1:BJ\\5BJ=7\\BJ=\frac{7}{5}\)
よって
\(BG~\)\(=BJ+JG\\=\frac{7}{5}+4\\=\frac{27}{5}\)
答え \(\frac{27}{5}\)
まとめ
どうしても考えが浮かばないときは補助線を利用しよう！
- 平行な線をひいてみる！
- 垂直な線をひいてみる！
