相似な図形 ~注意するポイント!~ (表面積の比?)

  • 相似比 \(a:b\)
  • 面積比 \(a^2:b^2\)
  • 体積比 \(a^3:b^3\)

相似比と面積比と体積比はお友だち☆

 

 

 

問題 相似な2つの三角形があります。この2つの三角形の相似比が \(3:8\)であるとき、面積比を求めなさい。

 

  • 相似比 \(a:b\)
  • 面積比 \(a^2:b^2\)

 

相似比がわかれば楽勝!

相似比は 「\(3:8\)」だから

面積比は「\(3^2:8^2\)」になる

よって

答え \(9:64\)

 

 

 

 

表面積に惑わされるな!

問題 相似な2つの円錐があります。この2つの円錐の表面積の比が \(25:16\)であるとき、体積比を求めなさい。

 

  • 相似比 \(a:b\)
  • 面積比 \(a^2:b^2\)
  • 体積比 \(a^3:b^3\)

 

「表面積の比」→「面積比」

相似比を「\(a:b\)」とすると

面積比は「\(a^2:b^2\)」

問題より、面積比は「\(25:16\)」だから

\(a^2:b^2=25:16\\a~:~b~=~~5:~~4\)

よって

相似比は「\(5:4\)」だから

体積比は「\(5^3:4^3\)」になる

 

答え \(125:64\)

 

 

 

問題 相似な2つの円錐 \(P\)、\(Q\)があります。相似比が \(2:3\)のとき次の問いに答えなさい。

(1)\(Q\)の表面積が\(108\pi cm^2\)のとき、\(P\)の表面積を求めなさい。

(2)\(P\)の体積が\(48\pi cm^3\)のとき、\(Q\)の体積を求めなさい。

 

 

相似比「\(2:3\)」より、面積比と体積比がわかる!

(1)\(Q\)の表面積が\(108\pi~cm^2\)のとき、\(P\)の表面積を求めなさい。

相似比「\(2:3\)」より

面積比「\(2^2:3^2\)」

よって

\( S{\tiny P }~:~~~S{\tiny Q } ~~=~~2^2:3^2\\ S{\tiny P }~:108\pi ~ =~~4~:9\\ S{\tiny P }~:~~12\pi~ =~~4~:1\\S{\tiny P }=48\pi\)

答え \(48\pi cm^2\)

 

 

(2)\(P\)の体積が\(48\pi cm^3\)のとき、\(Q\)の体積を求めなさい。

相似比「\(2:3\)」より

体積比「\(2^3:3^3\)」

よって

\(~ V{\tiny P }~~~:~V{\tiny Q } =~~2^3:3^3\\ 48\pi ~:~V{\tiny Q }~=~~8~:27\\~~6\pi~:~V{\tiny Q }~=~~1~:27\\S{\tiny Q }=162\pi\)

答え \(162\pi cm^3\)

 

 

 

まとめ
  • 表面積の比は面積比と考えればOK!

相似な図形 ~体積比~ (相似な図形に注目せよ!)


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