毎日問題を解こう！ 3
問題 \(AD//BC\)、\(AD=5cm\)、\(BC=10cm\)、\(DC=8cm\)、\(\angle{BDC}=90°\)の台形\(ABCD\)があります。対角線の交点\(P\)を通り\(BC\)に平行な直線をひき、\(AB\)、\(DC\)との交点をそれぞれ\(Q\)、\(R\)とするとき次の問いに答えなさい。
（１）\(QR\)の長さを求めなさい。
（２）台形\(ABCD\)の面積を求めなさい。
問題文からわかることを図に書き込む！
もくじ
相似を利用する
（１）\(QR\)の長さを求めなさい。
- \(QR=QP+PR\)
\(QP\)
\(AD//BC\)より
\(\triangle{APD}\)∽\(\triangle{CPB}\)
よって
\(AP:CP~\)\(=AD:CB\\=5:10\\=1:2\)
\(QP//BC\)より
\(QP:BC=AP:AC\\QP:10=1:3\\3QP=10\\QP=\frac{10}{3}\)
\(PR\)
\(AD//BC\)より
\(\triangle{APD}\)∽\(\triangle{CPB}\)
よって
\(DP:BP~\)\(=AD:CB\\=5:10\\=1:2\)
\(PR//BC\)より
\(PR:BC=DP:DB\\PR:10=1:3\\3PR=10\\PR=\frac{10}{3}\)
よって
\(QR~\)\(=QP+PR\\=\frac{10}{3}+\frac{10}{3}\\=\frac{20}{3}\)
答え \(\frac{20}{3}~cm\)
直角三角形を利用する
（２）台形\(ABCD\)の面積を求めなさい。
\(\triangle{DBC}\)で三平方の定理より
\(BE^2+CD^2=BC^2\\BD^2+8^2=10^2\\BD^2+64=100\\BD^2=100-64\\BD^2=36\)
\(BD>0\)より
\(BD=6\)
よって
\(\triangle{DBC}~\)\(=CD×BD×\frac{1}{2}\\=8×6×\frac{1}{2}\\=24\)
台形の高さを設定する
\(D\)から辺\(BC\)に垂線をひき、辺\(BC\)との交点を\(E\)とする
\(\triangle{DBC}=BC×DE×\frac{1}{2}\\24=10×DE×\frac{1}{2}\\24=5×DE\\DE=\frac{24}{5}\)
- 台形の面積＝（上底＋下底）× 高さ× \(\frac{1}{2}\)
台形\(ABCD~\)\(=(AD+BC)×DE×\frac{1}{2}\\=(5+10)×\frac{24}{5}×\frac{1}{2}\\=15×\frac{24}{5}×\frac{1}{2}\\=3×24×\frac{1}{2}\\=3×12\\=36\)
答え \(36~cm^2\)
