毎日問題を解こう! 3

問題 \(AD//BC\)、\(AD=5cm\)、\(BC=10cm\)、\(DC=8cm\)、\(\angle{BDC}=90°\)の台形\(ABCD\)があります。対角線の交点\(P\)を通り\(BC\)に平行な直線をひき、\(AB\)、\(DC\)との交点をそれぞれ\(Q\)、\(R\)とするとき次の問いに答えなさい。

相似,面積,長さ,比

(1)\(QR\)の長さを求めなさい。

(2)台形\(ABCD\)の面積を求めなさい。

 

 

問題文からわかることを図に書き込む!

相似,面積,長さ,比

 

相似を利用する

(1)\(QR\)の長さを求めなさい。

  • \(QR=QP+PR\)

\(QP\)

\(AD//BC\)より

\(\triangle{APD}\)∽\(\triangle{CPB}\)

よって

\(AP:CP~\)\(=AD:CB\\=5:10\\=1:2\)

相似,面積,長さ,比

\(QP//BC\)より

\(QP:BC=AP:AC\\QP:10=1:3\\3QP=10\\QP=\frac{10}{3}\)

 

\(PR\)

\(AD//BC\)より

\(\triangle{APD}\)∽\(\triangle{CPB}\)

よって

\(DP:BP~\)\(=AD:CB\\=5:10\\=1:2\)

相似,面積,長さ,比

\(PR//BC\)より

\(PR:BC=DP:DB\\PR:10=1:3\\3PR=10\\PR=\frac{10}{3}\)

 

よって

\(QR~\)\(=QP+PR\\=\frac{10}{3}+\frac{10}{3}\\=\frac{20}{3}\)

答え \(\frac{20}{3}~cm\)

 

 

直角三角形を利用する

めっっちゃシンプル!三平方の定理

(2)台形\(ABCD\)の面積を求めなさい。

相似,面積,長さ,比

\(\triangle{DBC}\)で三平方の定理より

\(BE^2+CD^2=BC^2\\BD^2+8^2=10^2\\BD^2+64=100\\BD^2=100-64\\BD^2=36\)

\(BD>0\)より

\(BD=6\)

よって

\(\triangle{DBC}~\)\(=CD×BD×\frac{1}{2}\\=8×6×\frac{1}{2}\\=24\)

 

 

台形の高さを設定する

\(D\)から辺\(BC\)に垂線をひき、辺\(BC\)との交点を\(E\)とする

相似,面積,長さ,比

相似,面積,長さ,比

\(\triangle{DBC}=BC×DE×\frac{1}{2}\\24=10×DE×\frac{1}{2}\\24=5×DE\\DE=\frac{24}{5}\)

 

  • 台形の面積=(上底+下底)× 高さ× \(\frac{1}{2}\)

台形\(ABCD~\)\(=(AD+BC)×DE×\frac{1}{2}\\=(5+10)×\frac{24}{5}×\frac{1}{2}\\=15×\frac{24}{5}×\frac{1}{2}\\=3×24×\frac{1}{2}\\=3×12\\=36\)

答え \(36~cm^2\)

毎日問題を解こう! 4


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