毎日問題を解こう! 4

問題 関数\(y=ax^2~~(a>0)\)のグラフ上に点\(A\)があります。点\(A\)の\(x\)座標を\(4\)、原点を\(O\)とするとき次の問いに答えなさい。

二次関数,問題

(1)点\(A\)の\(y\)座標が\(32\)のとき、\(a\)の値を求めなさい。

(2)\(y=\frac{1}{2}x^2\)で\(x\)の変域が\(-2≦x≦4\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。

(3)点\(A\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(B\)、\(y=ax^2\)のグラフ上に\(x=-2\)となるように点\(C\)をとります。点\(C\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(D\)とします。点\(D\)を通る直線\(y=x+2\)は線分\(AB\)と交わり、その交点を\(P\)とします。\(\triangle{DBP}\)の面積が四角形\(ACDB\)の面積の半分になるとき、\(a\)の値を求めなさい。

 

 

基本は代入する

(1)点\(A\)の\(y\)座標が\(32\)のとき、\(a\)の値を求めなさい。

\(y=ax^2\)が\((4,32)\)を通るから

\(32=a×4^2\\32=a×16\\a=2\)

答え \(2\)

 

(2)\(y=\frac{1}{2}x^2\)で\(x\)の変域が\(-2≦x≦4\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。

二次関数 ~変域は手描きで攻略せよ!~

\(x=4\)を\(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(y~\)\(=\frac{1}{2}×4^2\\=8\)

よって

答え \(0≦y≦8\)

 

 

図(グラフ)で理解しよう!

問題 関数\(y=ax^2~~(a>0)\)のグラフ上に点\(A\)があります。点\(A\)の\(x\)座標を\(4\)、原点を\(O\)とするとき次の問いに答えなさい。

(3)点\(A\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(B\)、\(y=ax^2\)のグラフ上に\(x=-2\)となるように点\(C\)をとります。点\(C\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(D\)とします。点\(D\)を通る直線\(y=x+2\)は線分\(AB\)と交わり、その交点を\(P\)とします。\(\triangle{DBP}\)の面積が四角形\(ACDB\)の面積の半分になるとき、\(a\)の値を求めなさい。

問題文からわかることを図に書き込む!

二次関数,問題

 

点\(A\)の座標を求める

\(A\)の\(x\)座標が\(4\)より

\(x=4\)を\(y=ax^2\)に代入して

\(y=a×4^2=16a\)

よって

\(A(4,16a)\)

二次関数,問題,面積,半分

 

点\(C\)の座標を求める

\(C\)の\(x\)座標が\(-2\)より

\(x=-2\)を\(y=ax^2\)に代入して

\(y=a×(-2)^2=4a\)

よって

\(C(-2,4a)\)

二次関数,問題,面積,半分

 

 

\(\triangle{DBP}\)で方程式をつくる

四角形\(ACDB\)の面積を求める

  • 台形の面積=(上底+下底)× 高さ× \(\frac{1}{2}\)

四角形\(ACDB~\)\(=(4a+16a)×(2+4)×\frac{1}{2}\\=20a×6×\frac{1}{2}\\=20a×3\\=60a\)

 

「\(\triangle{DBP}\)の面積が四角形\(ACDB\)の面積の半分になるとき」より

  • \(\triangle{DBP}\)=四角形\(ACDB×\frac{1}{2}\)

\(\triangle{DBP}~\)\(=60a×\frac{1}{2}\\=30a\)

二次関数,問題,面積,半分

 

点\(P\)の座標を求める

\(P\)の\(x\)座標が\(4\)より

\(x=-2\)を\(y=x+2\)に代入して

\(y~\)\(=4+2\\=6\)

よって

\(P(4,6)\)

 

二次関数,問題,面積,半分

\(\triangle{DBP}\)で方程式をつくる

\(30a=(2+4)×6×\frac{1}{2}\\30a=6×6×\frac{1}{2}\\30a=6×3\\30a=18\\a=\frac{18}{30}\\a=\frac{3}{5}\)

答え \(\frac{3}{5}\)

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