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問題 関数\(y=ax^2~~(a>0)\)のグラフ上に点\(A\)があります。点\(A\)の\(x\)座標を\(4\)、原点を\(O\)とするとき次の問いに答えなさい。
（１）点\(A\)の\(y\)座標が\(32\)のとき、\(a\)の値を求めなさい。
（２）\(y=\frac{1}{2}x^2\)で\(x\)の変域が\(-2≦x≦4\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。
（３）点\(A\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(B\)、\(y=ax^2\)のグラフ上に\(x=-2\)となるように点\(C\)をとります。点\(C\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(D\)とします。点\(D\)を通る直線\(y=x+2\)は線分\(AB\)と交わり、その交点を\(P\)とします。\(\triangle{DBP}\)の面積が四角形\(ACDB\)の面積の半分になるとき、\(a\)の値を求めなさい。
もくじ
基本は代入する
（１）点\(A\)の\(y\)座標が\(32\)のとき、\(a\)の値を求めなさい。
\(y=ax^2\)が\((4,32)\)を通るから
\(32=a×4^2\\32=a×16\\a=2\)
答え \(2\)
（２）\(y=\frac{1}{2}x^2\)で\(x\)の変域が\(-2≦x≦4\)のとき、\(y\)の変域を求めなさい。
\(x=4\)を\(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(y~\)\(=\frac{1}{2}×4^2\\=8\)
よって
答え \(0≦y≦8\)
図（グラフ）で理解しよう！
問題 関数\(y=ax^2~~(a>0)\)のグラフ上に点\(A\)があります。点\(A\)の\(x\)座標を\(4\)、原点を\(O\)とするとき次の問いに答えなさい。
（３）点\(A\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(B\)、\(y=ax^2\)のグラフ上に\(x=-2\)となるように点\(C\)をとります。点\(C\)と\(x\)座標が等しい\(x\)軸上の点を\(D\)とします。点\(D\)を通る直線\(y=x+2\)は線分\(AB\)と交わり、その交点を\(P\)とします。\(\triangle{DBP}\)の面積が四角形\(ACDB\)の面積の半分になるとき、\(a\)の値を求めなさい。
問題文からわかることを図に書き込む！
点\(A\)の座標を求める
\(A\)の\(x\)座標が\(4\)より
\(x=4\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a×4^2=16a\)
よって
\(A(4,16a)\)
点\(C\)の座標を求める
\(C\)の\(x\)座標が\(-2\)より
\(x=-2\)を\(y=ax^2\)に代入して
\(y=a×(-2)^2=4a\)
よって
\(C(-2,4a)\)
\(\triangle{DBP}\)で方程式をつくる
四角形\(ACDB\)の面積を求める
- 台形の面積＝（上底＋下底）× 高さ× \(\frac{1}{2}\)
四角形\(ACDB~\)\(=(4a+16a)×(2+4)×\frac{1}{2}\\=20a×6×\frac{1}{2}\\=20a×3\\=60a\)
「\(\triangle{DBP}\)の面積が四角形\(ACDB\)の面積の半分になるとき」より
- \(\triangle{DBP}\)=四角形\(ACDB×\frac{1}{2}\)
\(\triangle{DBP}~\)\(=60a×\frac{1}{2}\\=30a\)
点\(P\)の座標を求める
\(P\)の\(x\)座標が\(4\)より
\(x=-2\)を\(y=x+2\)に代入して
\(y~\)\(=4+2\\=6\)
よって
\(P(4,6)\)
\(\triangle{DBP}\)で方程式をつくる
\(30a=(2+4)×6×\frac{1}{2}\\30a=6×6×\frac{1}{2}\\30a=6×3\\30a=18\\a=\frac{18}{30}\\a=\frac{3}{5}\)
答え \(\frac{3}{5}\)
