回転体 ~球について~
- 表面積 \(S=4πr^2\)
- 体積 \(V=\frac{4πr^3}{3}\)
もくじ
回転させる
問題１ 図のような半円を、直線\(ℓ\)を軸として１回転させたときにできる立体について次の問いに答えなさい。
（１）立体の表面積を求めなさい。
（２）立体の体積を求めなさい。
回転させると球になる！
（１）表面積を求めなさい。
球の表面積 \(S=4πr^2\)
直線\(5~cm\)より、半径は\(\frac{5}{2}~cm\)となる
よって
\(S~\)\(=4π×(\frac{5}{2})^2\\=4π×\frac{25}{4}\\=25π\)
答え \(25π~cm^2\)
（２）体積を求めなさい。
球の体積 \(V=\frac{4πr^3}{3}\)
直線\(5~cm\)より、半径は\(\frac{5}{2}~cm\)となる
よって
\(V~\)\(=\frac{4π×(\frac{5}{2})^3}{3}\\=\frac{π×\frac{125}{2}}{3}\\=\frac{125}{6}π\)
答え \(\frac{125}{6}π~cm^3\)
表面積に注意⁉︎
問題２ 図のような半円を、直線\(ℓ\)を軸として１回転させたときにできる立体について次の問いに答えなさい。
（１）色のついた立体の表面積を求めなさい。
（２）色のついた立体の体積を求めなさい。
回転させた立体！
（１）色のついた立体の表面積を求めなさい。
基本的には見えている部分が表面積ですが、中の空洞の部分も表面積に含まれます！
含まれなかったら、空洞がある球とそうでない球の表面積が同じになってしまいます！
球の表面積 \(S=4πr^2\)
大きい球の直線\(10~cm\)より、半径は\(5~cm\)
小さい球の直線\(4~cm\)より、半径は\(2~cm\)となる
よって
\(S~\)\(=4π×5^2+4π×2^2\\=100π+16π\\=116π\)
答え\(116π~cm^2\)
（２）色のついた立体の体積を求めなさい。
球の体積 \(V=\frac{4πr^3}{3}\)
大きい球の直線\(10~cm\)より、半径は\(5~cm\)
小さい球の直線\(4~cm\)より、半径は\(2~cm\)となる
よって
\(V=~\)\(\frac{4π×5^3}{3}-\frac{4π×2^3}{3}\\=\frac{4π×125}{3}-\frac{4π×8}{3}\\=\frac{4π×(125-8)}{3}\\=\frac{4π×117}{3}\\=4π×39\\=156π\)
答え \(156π~cm^3\)
まとめ
- 回転体で球になるためには、半円が必要です！
- 表面積の空洞部分に注意が必要です！
