回転体 ~球について~

球の表面積と体積の求め方!

  • 表面積 \(S=4πr^2\)
  • 体積  \(V=\frac{4πr^3}{3}\)

 

 

回転させる

回転体 ~攻略のポイント~

問題1 図のような半円を、直線\(ℓ\)を軸として1回転させたときにできる立体について次の問いに答えなさい。

回転体,球

(1)立体の表面積を求めなさい。

(2)立体の体積を求めなさい。

 

 

回転させると球になる!

回転体,球

(1)表面積を求めなさい。

球の表面積 \(S=4πr^2\)

直線\(5~cm\)より、半径は\(\frac{5}{2}~cm\)となる

よって

\(S~\)\(=4π×(\frac{5}{2})^2\\=4π×\frac{25}{4}\\=25π\)

答え \(25π~cm^2\)

 

 

(2)体積を求めなさい。

球の体積 \(V=\frac{4πr^3}{3}\)

直線\(5~cm\)より、半径は\(\frac{5}{2}~cm\)となる

よって

\(V~\)\(=\frac{4π×(\frac{5}{2})^3}{3}\\=\frac{π×\frac{125}{2}}{3}\\=\frac{125}{6}π\)

答え \(\frac{125}{6}π~cm^3\)

 

 

 

 

表面積に注意⁉︎

問題2 図のような半円を、直線\(ℓ\)を軸として1回転させたときにできる立体について次の問いに答えなさい。

回転体,球

(1)色のついた立体の表面積を求めなさい。

(2)色のついた立体の体積を求めなさい。

 

 

 

回転させた立体!

 

回転体,球

(1)色のついた立体の表面積を求めなさい。

基本的には見えている部分が表面積ですが、中の空洞の部分も表面積に含まれます!
含まれなかったら、空洞がある球とそうでない球の表面積が同じになってしまいます!

球の表面積 \(S=4πr^2\)

大きい球の直線\(10~cm\)より、半径は\(5~cm\)

小さい球の直線\(4~cm\)より、半径は\(2~cm\)となる

よって

\(S~\)\(=4π×5^2+4π×2^2\\=100π+16π\\=116π\)

答え\(116π~cm^2\)

 

 

(2)色のついた立体の体積を求めなさい。

球の体積 \(V=\frac{4πr^3}{3}\)

大きい球の直線\(10~cm\)より、半径は\(5~cm\)

小さい球の直線\(4~cm\)より、半径は\(2~cm\)となる

よって

\(V=~\)\(\frac{4π×5^3}{3}-\frac{4π×2^3}{3}\\=\frac{4π×125}{3}-\frac{4π×8}{3}\\=\frac{4π×(125-8)}{3}\\=\frac{4π×117}{3}\\=4π×39\\=156π\)

答え \(156π~cm^3\)

 

 

まとめ
  • 回転体で球になるためには、半円が必要です!
  • 表面積の空洞部分に注意が必要です!

スポンサーリンク

コメントを残す

CAPTCHA



スポンサーリンク

このページの先頭へ