入試問題 〜数〜

入試問題にチャレンジ!

問題 自然数aとbの最大公約数を<a,b>、最小公倍数を[a,b]と表す。

例 <4,6>=2、[4,6]=12 である。

(1) <8,12>を答えなさい。

(2) [8,12]を答えなさい。

(3) <45, \(x\) >=15、[45, \(x\) ]=180のとき \(x\) の値を答えなさい。

 

 

(1)8と12の最大公約数を求めればよい☆

答え 4

最大公約数の求め方☆

 

(2)8と12の最小公倍数を求めればよい☆

答え 24

最小公倍数の求め方☆

 

 

(3) <45, \(x\) >=15、[45, \(x\) ]=180のとき \(x\) の値を答えなさい。

まず45を素因数分解すると

\(45=3^2×5\)

45と\(x\)の15が最大公約数だから

45=3×3×5

45=3×15

 

よって\(x\)は

\(x\)=15×a・・・①

と表すことができます!

☝️15が入っていないと最大公約数が15になりません!

 

つづいて

45と\(x\)の最小公倍数が180になるためには

3×15×a=180

☝️2の段なら2×aです☆

45の段だから3×15×aとなります!

a=4

 

つまり

①にa=4を代入して

\(x\)=15×4

答え \(x\)=60

 

 

素因数分解で理解する!

 

 

12と18の最大公約数と最小公倍数は素因数分解でみると

最大公約数

12=2×2×3

18=2×3×3

よって 6

 

最小公倍数

12=2×2×3

18=2×3×3

よって 2×2×3×3=36

2×2×3×3は12の倍数(12の段)であり

2×3×3は18の倍数(18の段)です!

 

このように、素因数分解で理解することが問題を解くポイントになります☆

 

まとめ

今回の問題は最大公約数と最小公倍数でした。しかし単に最大公約数と最小公倍数を求めるだけでは解くことが難しいと思います!

今回大切なのは、最大公約数と最小公倍数がどうやってできているかを素因数分解で理解することです☆

 

連続する「平方数」の問題


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