放物線と直線 ~複合問題~

反比例とは

一次関数のグラフ ~最初に知っておくこと~

二次関数 ~めっちゃわかる基本!~

 

 

 

問題 

  • \(y=ax^2\)・・・①
  • \(y=\frac{3}{x}\)・・・②
  • \(y=x+b\)・・・③

のグラフが点\(B\)で交わっています。②と③の交点は \(A(-3,-1)\)、\(B(1,3)\)です。原点を通る直線\(BC\)と②との交点で、点\(A\)と異なる点を\(C\)とするとき次の問いに答えなさい。

放物線,直線,問題

(1)\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

(2)直線\(BC\)の式を求めなさい。

(3)△\(ABC\)の面積を求めなさい。

 

 

(1)\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

放物線,直線,問題

通る→代入して式が成り立つ!

\(B(1,3)\)が \(y=ax^2\)を通るから

\(3=a×1^2\\3=a×1\\a=3\)

また

\(B(1,3)\)が \(y=x+b\)を通るから

\(3=1+b\\b=2\)

よって

答え \(a=3,b=2\)

 

 

気づかないと解けない⁉︎

(2)直線\(BC\)の式を求めなさい。

放物線,直線,問題

  • 点\(A\)と点\(C\)は原点について対称な点である!

点\(C\)の座標求められるかどうか!

\(A(-3,-1)\)と点\(C\)が原点について対称だから

\(C(3,1)\)

 

直線\(BC\)を求める!

\(B(1,3)\)、\(C(3,1)\)

傾き\(=\frac{1-3}{3-1}\\=\frac{-2}{2}\\=-1\)

よって

\(y=-x+c\)

これが \(B(1,3)\)を通るから

\(3=-1+c\\c=4\)

答え \(y=-x+4\)

 

 

解く手順を考えよう!

(3)△\(ABC\)の面積を求めなさい。

放物線,直線,問題

一撃で△\(ABC\)の面積を求めることができない!
よって△\(ABC\)を分割して求める!

点\(B\)から \(x\)軸に垂線をひいて、直線\(AC\)との交点を\(D\)とする

放物線,直線,問題

  • △\(ABC=\)△\(ABD+\)△\(CBD\)

点\(D\)の座標求める!

「点\(B\)から \(x\)軸に垂線をひいて」より

\(D(1,Dy)\)

◯ 点\(B\)と \(x\)座標が同じになる!

直線\(AC\)の式は

放物線,直線,問題

よって

直線\(AC\)は

\(y=\frac{1}{3}x\)

原点を通るから切片は\(0\)!

 

\(D(1,Dy)\)が \(y=\frac{1}{3}x\)を通るから

\(Dy=\frac{1}{3}×1\\~~~~~=\frac{1}{3}\)

よって

\(D(1,\frac{1}{3})\)

放物線,直線,問題

  • △\(ABC=\)△\(ABD+\)△\(CBD\)

△\(ABC=4×\)\((3-\frac{1}{3})\)\(×\frac{1}{2}+\)\((3-\frac{1}{3})\)\(×2×\frac{1}{2}\)

\(~~~~~~~~~~~=4×\frac{8}{3}×\frac{1}{2}+\frac{8}{3}×2×\frac{1}{2}\)

\(~~~~~~~~~~~=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}\)

\(~~~~~~~~~~~=8\)

 

 

まとめ

面積を求める問題は、解き方は1通りではありません☆

  • 一撃で求める!
  • 分割で求める!
  • いらない部分を取り除いて求める!

求められる方法で答えを出しましょう!

放物線と直線 ~面積比~


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