座標を使った体積の問題！ ~円柱が空洞~

問題　\(4\)点\(A(1,7)\)、\(B(1,1)\)、\(C(4,1)\)、\(D(4,7)\)を頂点とする四角形\(ABCD\)を\(y\)軸のまわりに\(1\)回転してできる立体の体積を答えなさい。ただし、円周率は\(\pi\)とします。

 

 

 

まずは図を描いて考えよう！

一瞬でわかる！ ~座標についての基本~

「\(4\)点\(A(1,7)\)、\(B(1,1)\)、\(C(4,1)\)、\(D(4,7)\)を頂点とする四角形\(ABCD\)」より

 

 

ある程度正確に座標がとれればOK！

 

「四角形\(ABCD\)を\(y\)軸のまわりに\(1\)回転してできる立体」より

トイレットペーパーみたいな円柱が完成します！

 

 

トイレットペーパーの体積を求める！

大きな円柱から小さな円柱をひけばいい！

円の面積、円周の求め方！

• 円の面積・・・\(\pi r^2\)

超簡単！体積の求め方☆

• 底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)（錐なら\(\frac{1}{3}\)倍する）

 

 

大きな円柱の体積

底面は半径\(4\)の円で高さ\(6\)だから

\(\pi ×4^2×6=96\pi\)

 

小さな円柱の体積

底面は半径\(1\)の円で高さ\(6\)だから

\(\pi ×1^2×6=6\pi\)

 

よって、トイレットペーパーの体積は

\(96\pi -9\pi =90\pi\)

答え　\(90\pi\)

 

 

実際に座標をとって回転体を描いてみるといいです。

すると「トイレットペーパーが少し浮いている」に気づくはずです！

今回の問題は、\(y\)座標がそのまま立体の高さにならないことに注目しましょう♪