座標を使った体積の問題! ~円柱が空洞~

問題 \(4\)点\(A(1,7)\)、\(B(1,1)\)、\(C(4,1)\)、\(D(4,7)\)を頂点とする四角形\(ABCD\)を\(y\)軸のまわりに\(1\)回転してできる立体の体積を答えなさい。ただし、円周率は\(\pi\)とします。

 

 

 

まずは図を描いて考えよう!

一瞬でわかる! ~座標についての基本~

「\(4\)点\(A(1,7)\)、\(B(1,1)\)、\(C(4,1)\)、\(D(4,7)\)を頂点とする四角形\(ABCD\)」より

 

 

ある程度正確に座標がとれればOK!

体積,座標

 

「四角形\(ABCD\)を\(y\)軸のまわりに\(1\)回転してできる立体」より

体積,座標

トイレットペーパーみたいな円柱が完成します!

 

 

トイレットペーパーの体積を求める!

体積,座標

大きな円柱から小さな円柱をひけばいい!

円の面積、円周の求め方!

  • 円の面積・・・\(\pi r^2\)

超簡単!体積の求め方☆

  • 底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)(錐なら\(\frac{1}{3}\)倍する)

 

 

大きな円柱の体積

体積,座標

底面は半径\(4\)の円で高さ\(6\)だから

\(\pi ×4^2×6=96\pi\)

 

小さな円柱の体積

体積,座標

底面は半径\(1\)の円で高さ\(6\)だから

\(\pi ×1^2×6=6\pi\)

 

よって、トイレットペーパーの体積は

\(96\pi -9\pi =90\pi\)

答え \(90\pi\)

 

 

実際に座標をとって回転体を描いてみるといいです。

すると「トイレットペーパーが少し浮いている」に気づくはずです!

今回の問題は、\(y\)座標がそのまま立体の高さにならないことに注目しましょう♪


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