平方根 ~条件を満たす値~ 差をつけたい上級者向け

「とりあえず代入すれば問題が解ける」、「公式を知らなくても時間をかければ問題が解ける」など数学は様々な解き方があります!

どうせ解くなら、無駄なく解く術を身に付けたいものです☆

 

求め方で差がつく

問題1 \(\sqrt{20n}\)が自然数となるような整数\(n\)の値を、\(0<n<100\)の範囲ですべて求めなさい。

 

パターン1

「そのまま代入する」

考え方はとてもストレートです!

◯ メリット

とりあえず代入すれば答えが出るので、色々考えるより計算すれば答えが出せる!

◯ デメリット

\(0<n<100\)ですべてを代入するには、とにかく時間がかかる。

 

パターン2

「条件を満たす値を考える」

何が必要かを見極め、無駄を省く!

◯ メリット

時間が短縮できる!よって無駄なミスが減る!

◯ デメリット

考え方がわからないと全く応用することができない。

 

 

条件を満たす値を考える

問題1 \(\sqrt{20n}\)が自然数となるような整数\(n\)の値を、\(0<n<100\)の範囲ですべて求めなさい。

 

\(\sqrt{20n}\)が自然数となるためには\(\sqrt{~}\)の中が\(◯^2\)になる!

\(\sqrt{20n}=\sqrt{2^2×5×n}\)

\(\sqrt{~}\)の中が\(◯^2\)になれば\(\sqrt{~}\)が外れるから

\(n=5×m^2\)とすると

\(\sqrt{2^2×5×n}=\sqrt{2^2×5^2×m^2}\)

\(\sqrt{~}\)の中が\(◯^2\)になっているから\(\sqrt{~}\)が外れる!
例 \(\sqrt{2^2×3^2}=2×3=6\)

\(0<n<100\) より

\(0<5×m^2<100\)

◯ \(n=5×m^2\)を代入!

\(\frac{1}{5}\)倍して

\(0<m^2<20\)

これを満たす\(m\)は

\(m=1,2,3,4…\)①

①をそれぞれ\(n=5×m^2\)に代入して

\(n=5,20,45,80\)

答え \(n=5,20,45,80\)

 

 

 

問題2 \(\sqrt{10-a}\)が整数となるような自然数\(a\)の値をすべてを求めなさい。

 

\(\sqrt{0^2},\sqrt{1^2},\sqrt{2^2},\sqrt{3^2}\)と判断する!

中学の数学では「\(\sqrt{~}\)の中がマイナスになる」はありません!

\(\sqrt{10-a}=\sqrt{0^2}\)のとき

\(10-a=0^2\)

「0は整数!」

\(a=10\)

 

\(\sqrt{10-a}=\sqrt{1^2}\)のとき

\(10-a=1^2\)

\(a=9\)

 

\(\sqrt{10-a}=\sqrt{2^2}\)のとき

\(10-a=2^2\)

\(a=6\)

 

\(\sqrt{10-a}=\sqrt{3^2}\)のとき

\(10-a=3^2\)

\(a=1\)

 

よって

答え \(a=1,6,9,10\)

\(a\)は自然数!

 

 

まとめ

何度も問題を解くと自然に身につきます☆

焦らず何度も挑戦することが一番の近道です!

頑張ってください!

平方根 ~条件を満たす値②~ 差をつけたい上級者向け


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