平方根 ~条件を満たす値②~ 差をつけたい上級者向け

難しい問題に挑戦!

問題をよく読んで、意味をしっかり考えよう☆

 

平方根の基礎が身についていれば解ける

問題 \(\sqrt{\frac{2187}{n}}\)が整数となるような整数\(n\)の値をすべて答えなさい。

 

 

\(\sqrt{\frac{2187}{n}}\)が整数になるためには\(\sqrt{~}\)の中を\(◯^2\)にする!

2187を素因数分解して

素因数分解とは?

\( 3\underline{ )2187}\\ 3\underline{ )~~729}\\ 3\underline{ )~~243}\\ 3\underline{ )~~~~81}\\ 3\underline{ )~~~~27}\\ 3\underline{ )~~~~~~9}\\ ~~~~~~~~~3\)

よって

\(2187=3^7\)

\(\sqrt{\frac{2187}{n}}=\sqrt{\frac{3^7}{n}}\)

\(=\sqrt{\frac{3^2×3^2×3^2×3}{n}}\)

\(=3×3×3\sqrt{\frac{3}{n}}\)

 

\(\sqrt{\frac{3}{n}}\)が整数になるためには\(\sqrt{~}\)の中を\(◯^2\)にする!

\(n=m^2×3\)とする

\(3×3×3\sqrt{\frac{3}{n}}\)

\(=3×3×3\sqrt{\frac{3}{m^2×3}}\)

\(=3^3\sqrt{\frac{1}{m^2}}\)

◯ \(\sqrt{~}\)の中は\((\frac{1}{m})^2\)で\(◯^2\)になりました!

よって

\(3^3×\frac{1}{m}\)

\(=\frac{3^3}{m}\)

 

\(\frac{b}{a},a≠0\)(数学において)
\(\sqrt{~}\)の中はマイナスはない!(中学校の数学において)

 

\(\frac{3^3}{m}\)を整数にしたい!

「\(m=1\)」のとき

\(\frac{3^3}{1}=3^3\)

 

「\(m=3^1\)」のとき

\(\frac{3^3}{3^1}=3^2\)

 

「\(m=3^2\)」のとき

\(\frac{3^3}{3^2}=3^1\)

 

「\(m=3^3\)」のとき

\(\frac{3^3}{3^3}=1\)

◯ これ以降は\(\frac{3^3}{m}\)が整数にならない!

 

よって

\(m=1,3^1,3^2,3^3\)

これをそれぞれ\(n=m^2×3\)に代入して

\(n=3,3^3,3^5,3^7\)

例 \((5^3)^2=(5×5×5)^2\)\(
=(5×5×5)×(5×5×5)=5^6\)

答え \(n=3,3^3,3^5,3^7\)

 

 

まとめ

難しい問題ですが、意味が理解できれば十分だと思います☆

最初から解ける人は本当にすごいです!

何度も練習して身につけてください☆


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