平行四辺形 ~どんな四角形になるか~

定義

  • 長方形・・・4つの角が等しい四角形
  • ひし形・・・4つの辺が等しい四角形
  • 正方形・・・4つの角が等しく、4つの辺が等しい四角形

平行四辺形と長方形・ひし形・正方形の関係

 

 

定義と性質を使いこなす

 問題1 平行四辺形\(ABCD\)で、次のことが成り立つとき、平行四辺形\(ABCD\)はどんな四角形になるか答えなさい。

(1)\(AB=BC\)

(2)\(AC=BD\)

(3)\(AB=BC,AC=BD\)

(4)\(\angle{BOC}=90°\)

平行四辺形,問題

 

平行四辺形\(ABCD\)だから次のことが確定している!

平行四辺形の定義

  • 2組の向かい合う辺が、それぞれ平行な四角形

 

平行四辺形の性質

  • 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
  • 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
  • 対角線がそれぞれの中点で交わる
  • 1組の向かい合う辺が等しくて平行

 

 

(1)\(AB=BC\)

平行四辺形,問題

平行四辺形の性質「2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい」

ひし形の定義「4つの辺が等しい四角形」

よって

答え ひし形

 

 

(2)\(AC=BD\)

平行四辺形,問題

長方形の性質「対角線は長さが等しい」

よって

答え 長方形

 

 

(3)\(AB=BC,AC=BD\)

平行四辺形,問題

\(AB=BC\)より

ひし形か正方形の可能性がある

さらに、\(AC=BD\)より

答え 正方形

 

 

(4)\(\angle{BOC}=90°\)

平行四辺形,問題

ひし形の性質「対角線は垂直に交わる」

よって

答え ひし形

 

 

わかることから順番に

問題2 平行四辺形\(ABCD\)で、対角線\(AC\)が \(\angle{BAD}\)の二等分線であるとき、平行四辺形\(ABCD\)はどんな四角形になるか証明しなさい。

平行四辺形,問題

 

 

\(AB//DC\)より

\(\angle{BAC}=\angle{DCA}\)

よって、\(\triangle{DAC}\)は二等辺三角形となるから

\(DA=DC\)

平行四辺形,問題

ゆえに、平行四辺形\(ABCD\)は「となり合う辺が等しい」からひし形となる //

 

 

まとめ

定義や性質など、知っていないと解くことが難しくなってしまいます💦

問題をいくつか解きながら慣れていきましょう☆

平行からの証明、面積比の問題


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