平行四辺形　~どんな四角形になるか~

定義

• 長方形・・・４つの角が等しい四角形
• ひし形・・・４つの辺が等しい四角形
• 正方形・・・４つの角が等しく、４つの辺が等しい四角形

平行四辺形と長方形・ひし形・正方形の関係

 

 

定義と性質を使いこなす

 問題１　平行四辺形\(ABCD\)で、次のことが成り立つとき、平行四辺形\(ABCD\)はどんな四角形になるか答えなさい。

（１）\(AB=BC\)

（２）\(AC=BD\)

（３）\(AB=BC,AC=BD\)

（４）\(\angle{BOC}=90°\)

 

平行四辺形\(ABCD\)だから次のことが確定している！

平行四辺形の定義

• ２組の向かい合う辺が、それぞれ平行な四角形

 

平行四辺形の性質

• ２組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
• ２組の向かい合う角はそれぞれ等しい
• 対角線がそれぞれの中点で交わる
• １組の向かい合う辺が等しくて平行

 

 

（１）\(AB=BC\)

平行四辺形の性質「２組の向かい合う辺はそれぞれ等しい」

ひし形の定義「４つの辺が等しい四角形」

よって

答え　ひし形

 

 

（２）\(AC=BD\)

長方形の性質「対角線は長さが等しい」

よって

答え　長方形

 

 

（３）\(AB=BC,AC=BD\)

\(AB=BC\)より

ひし形か正方形の可能性がある

さらに、\(AC=BD\)より

答え　正方形

 

 

（４）\(\angle{BOC}=90°\)

ひし形の性質「対角線は垂直に交わる」

よって

答え　ひし形

 

 

わかることから順番に

問題２　平行四辺形\(ABCD\)で、対角線\(AC\)が \(\angle{BAD}\)の二等分線であるとき、平行四辺形\(ABCD\)はどんな四角形になるか証明しなさい。

 

 

\(AB//DC\)より

\(\angle{BAC}=\angle{DCA}\)

よって、\(\triangle{DAC}\)は二等辺三角形となるから

\(DA=DC\)

ゆえに、平行四辺形\(ABCD\)は「となり合う辺が等しい」からひし形となる　//

 

 

まとめ

定義や性質など、知っていないと解くことが難しくなってしまいます💦

問題をいくつか解きながら慣れていきましょう☆

平行からの証明、面積比の問題