二次関数 ~変域なんて楽勝！~
変域とは
- 存在できる範囲のこと
例）最高時速\(100km/h\)のクルマで\(50km\)離れた遊園地に行きます。速さ\(x~km/h\)、遊園地までの距離\(y~km\)として、\(x\)、\(y\)の変域をそれぞれ答えなさい。
答え \(0≦x≦100\\0≦y≦50\)
速さ\((x)\)は\(0\)〜\(100km/h\)まで調節できる！（存在できる）
遊園地までの距離\((y)\)は\(0\)〜\(50km\)までありえる！（存在できる）
もくじ
見比べてパターンを知れば楽勝！
例題 次の関数について、\(y\)の変域を求めなさい。
（１）\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)
（２）\(y=x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)
（３）\(y=-x^2~~~~(1≦x≦3)\)
（４）\(y=-x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)
（５）\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
（６）\(y=-x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
（１）\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)
\(x\)の変域\((1≦x≦3)\)より
\((1≦x≦3)\)で
\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい
\(x=3\)のとき \(y=3^2=9\)
\(x=1\)のとき \(y=1^2=1\)
◯ 代入して\(y\)の値を求める！
よって
答え \(1≦y≦9\)
（２）\(y=x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)
\(x\)の変域\((-3≦x≦-1)\)より
\((-3≦x≦-1)\)で
\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい
\(x=-3\)のとき \(y=(-3)^2=9\)
\(x=-1\)のとき \(y=(-1)^2=1\)
◯ 代入して\(y\)の値を求める！
よって
答え \(1≦y≦9\)
（３）\(y=-x^2~~~~(1≦x≦3)\)
\(x\)の変域\((1≦x≦3)\)より
\((1≦x≦3)\)で
\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい
\(x=1\)のとき \(y=-1^2=-1\)
\(x=3\)のとき \(y=-3^2=-9\)
◯ 代入して\(y\)の値を求める！
よって
答え \(-9≦y≦-1\)
（４）\(y=-x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)
\(x\)の変域\((-3≦x≦-1)\)より
\((-3≦x≦-1)\)で
\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい
\(x=-1\)のとき \(y=-(-1)^2=-1\)
\(x=-3\)のとき \(y=-(-3)^2=-9\)
◯ 代入して\(y\)の値を求める！
よって
答え \(-9≦y≦-1\)
（５）\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
\(x\)の変域\((-1≦x≦3)\)より
\((-1≦x≦3)\)で
\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい
\(x=3\)のとき \(y=3^2=9\)
\(x=0\)のとき \(y=0^2=0\)
◯ 代入して\(y\)の値を求める！
よって
答え \(0≦y≦9\)
（６）\(y=-x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
\(x\)の変域\((-1≦x≦3)\)より
\((-1≦x≦3)\)で
\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい
\(x=0\)のとき \(y=0^2=0\)
\(x=3\)のとき \(y=-3^2=-9\)
◯ 代入して\(y\)の値を求める！
よって
答え \(-9≦y≦0\)
注意すべきポイント！
「例題」と「答え」を見て何か気づけば完璧です☆
例題 次の関数について、\(y\)の変域を求めなさい。
（１）\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)
答え \((1≦y≦9)\)
（２）\(y=x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)
答え \((1≦y≦9)\)
（３）\(y=-x^2~~~~(1≦x≦3)\)
答え \((-9≦y≦-1)\)
（４）\(y=-x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)
答え \((-9≦y≦-1)\)
（５）\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
答え \((0≦y≦9)\)
（６）\(y=-x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
答え \((-9≦y≦0)\)
まとめ
ポイント！
- 基本は代入すれば\(y\)の変域を求めることができる！
- \(x\)の変域に\(0\)が含まれているときは注意！
例えば
（１）\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)
では、\(x\)の変域に\(0\)が含まれていません。
よって代入するだけで\(y\)の変域を求めることができます！
（５）\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)
では、\(x\)の変域に\(0\)が含まれています！
この場合は、\(y\)の最大値もしくは最小値が必ず\(0\)になります！
※ただし中学校で学習する二次関数の場合で必ず\(0\)になります☆
なぜなら、中学校の二次関数は必ず原点\((0,0)\)を通るからです！
