二次関数 ~変域なんて楽勝!~

変域とは

  • 存在できる範囲のこと

例)最高時速\(100km/h\)のクルマで\(50km\)離れた遊園地に行きます。速さ\(x~km/h\)、遊園地までの距離\(y~km\)として、\(x\)、\(y\)の変域をそれぞれ答えなさい。

答え \(0≦x≦100\\0≦y≦50\)

速さ\((x)\)は\(0\)〜\(100km/h\)まで調節できる!(存在できる)
遊園地までの距離\((y)\)は\(0\)〜\(50km\)までありえる!(存在できる)

 

 

 

見比べてパターンを知れば楽勝!

例題 次の関数について、\(y\)の変域を求めなさい。

(1)\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)

(2)\(y=x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)

(3)\(y=-x^2~~~~(1≦x≦3)\)

(4)\(y=-x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)

(5)\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

(6)\(y=-x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

 

(1)\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)

\(x\)の変域\((1≦x≦3)\)より

二次関数,変域

\((1≦x≦3)\)で

\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい

二次関数,変域

\(x=3\)のとき \(y=3^2=9\)

\(x=1\)のとき \(y=1^2=1\)

◯ 代入して\(y\)の値を求める!

よって

答え \(1≦y≦9\)

 

 

(2)\(y=x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)

\(x\)の変域\((-3≦x≦-1)\)より

二次関数,変域

\((-3≦x≦-1)\)で

\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい

二次関数,変域

\(x=-3\)のとき \(y=(-3)^2=9\)

\(x=-1\)のとき \(y=(-1)^2=1\)

◯ 代入して\(y\)の値を求める!

よって

答え \(1≦y≦9\)

 

 

(3)\(y=-x^2~~~~(1≦x≦3)\)

\(x\)の変域\((1≦x≦3)\)より

二次関数,変域

\((1≦x≦3)\)で

\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい

二次関数,変域

\(x=1\)のとき \(y=-1^2=-1\)

\(x=3\)のとき \(y=-3^2=-9\)

◯ 代入して\(y\)の値を求める!

よって

答え \(-9≦y≦-1\)

 

 

(4)\(y=-x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)

\(x\)の変域\((-3≦x≦-1)\)より

二次関数,変域

\((-3≦x≦-1)\)で

\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい

二次関数,変域

\(x=-1\)のとき \(y=-(-1)^2=-1\)

\(x=-3\)のとき \(y=-(-3)^2=-9\)

◯ 代入して\(y\)の値を求める!

よって

答え \(-9≦y≦-1\)

 

 

(5)\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

\(x\)の変域\((-1≦x≦3)\)より

二次関数,変域

\((-1≦x≦3)\)で

\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい

二次関数,変域

\(x=3\)のとき \(y=3^2=9\)

\(x=0\)のとき \(y=0^2=0\)

◯ 代入して\(y\)の値を求める!

よって

答え \(0≦y≦9\)

 

 

(6)\(y=-x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

\(x\)の変域\((-1≦x≦3)\)より

二次関数,変域

\((-1≦x≦3)\)で

\(y\)の変域・・・一番高いところと一番低いところを答えればいい

二次関数,変域

\(x=0\)のとき \(y=0^2=0\)

\(x=3\)のとき \(y=-3^2=-9\)

◯ 代入して\(y\)の値を求める!

よって

答え \(-9≦y≦0\)

 

 

 

注意すべきポイント!

「例題」と「答え」を見て何か気づけば完璧です☆

例題 次の関数について、\(y\)の変域を求めなさい。

(1)\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)

答え \((1≦y≦9)\)

(2)\(y=x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)

答え \((1≦y≦9)\)

(3)\(y=-x^2~~~~(1≦x≦3)\)

答え \((-9≦y≦-1)\)

(4)\(y=-x^2~~~~(-3≦x≦-1)\)

答え \((-9≦y≦-1)\)

(5)\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

答え \((0≦y≦9)\)

(6)\(y=-x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

答え \((-9≦y≦0)\)

 

 

 

まとめ

ポイント!

  • 基本は代入すれば\(y\)の変域を求めることができる!
  • \(x\)の変域に\(0\)が含まれているときは注意!

 

例えば

(1)\(y=x^2~~~~(1≦x≦3)\)

では、\(x\)の変域に\(0\)が含まれていません。

よって代入するだけで\(y\)の変域を求めることができます!

 

(5)\(y=x^2~~~~(-1≦x≦3)\)

では、\(x\)の変域に\(0\)が含まれています!

この場合は、\(y\)の最大値もしくは最小値が必ず\(0\)になります!

※ただし中学校で学習する二次関数の場合で必ず\(0\)になります
なぜなら、中学校の二次関数は必ず原点\((0,0)\)を通るからです!

二次関数 ~変域は手描きで攻略せよ!~


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