正四面体について知ろう!(高さと体積は一瞬で求める!)

正四面体とは正三角形で囲まれた図形である!

正四面体

  • すべての辺の長さが等しい (正三角形だから)

 

 

 

正四面体の高さを求めよう!

問題 図の正四面体について次の問いに答えなさい。

(1)頂点\(O\)から面\(ABC\)にひいた垂線\(OH\)の長さを求めなさい。

(2)体積を求めなさい。

正四面体,高さ

 

(1)頂点\(O\)から面\(ABC\)にひいた垂線\(OH\)の長さを求めなさい。

二等辺三角形\(PCO\)に着目する!

\(\triangle{OAB}\)は正三角形だから

三平方の定理 覚えること☆(三角定規)

\(AP=6\)

よって

\(OP=6\sqrt{3}\)

\(\triangle{PCO}\)は\(PC=PO\)の二等辺三角形だから

正四面体,高さ

頂点\(P\)から線分\(CO\)に垂線をひいて\(I\)とすると

正四面体,高さ

\(\triangle{PCI}\)で三平方の定理より

めっっちゃシンプル!三平方の定理

\(6^2+PI^2=(6\sqrt{3})^2 \\36+PI^2=108 \\PI^2=72\)

\(PI>0\)より

\(PI=6\sqrt{2}\)

 

正四面体,高さ

\(\triangle{PCO}\)で底辺\(CO\)の場合と底辺\(CP\)の場合で面積について方程式を作ると

\(OC×PI×\frac{1}{2}=CP×OH×\frac{1}{2} \\12×6\sqrt{2}×\frac{1}{2}=6\sqrt{3}×OH×\frac{1}{2} \\12\sqrt{2}=\sqrt{3}OH \\OH=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\OH=4\sqrt{6}\)

平方根 分母の根号(ルート)をなくす!~有理化~

 

答え \(2\sqrt{6}~cm\)

 

 

正四面体の体積を求めよう!

立体の体積を求める ~基本問題~

 

正四面体,体積

(2)体積を求めなさい。

  • 体積・・・底面積×高さ(錐なら\(\frac{1}{3}\)倍)

\(12×6\sqrt{3}×\frac{1}{2}×4\sqrt{6}×\frac{1}{3}=144\sqrt{2}\)

答え \(144\sqrt{2}~cm^3\)

 

 

正四面体について覚えること!
  • すべての辺の長さが等しい (正三角形だから)

 

正四面体の一辺\(12cm\)を「\(a\)」に置き換えて計算すると

  • 高さ \(\frac{\sqrt{6}}{3}a~cm\)
  • 体積 \(\frac{\sqrt{2}}{12}a^3~cm^3\)

 

「\(a\)」に置き換えて計算している記事はこちらです!

正四面体 ~高さ・面積を求める公式~


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