平方根 ~条件を満たす値②~ 差をつけたい上級者向け
難しい問題に挑戦！
問題をよく読んで、意味をしっかり考えよう☆
もくじ
平方根の基礎が身についていれば解ける
問題 \(\sqrt{\frac{2187}{n}}\)が整数となるような整数\(n\)の値をすべて答えなさい。
\(\sqrt{\frac{2187}{n}}\)が整数になるためには\(\sqrt{~}\)の中を\(◯^2\)にする！
2187を素因数分解して
\( 3\underline{ )2187}\\ 3\underline{ )~~729}\\ 3\underline{ )~~243}\\ 3\underline{ )~~~~81}\\ 3\underline{ )~~~~27}\\ 3\underline{ )~~~~~~9}\\ ~~~~~~~~~3\)
よって
\(2187=3^7\)
\(\sqrt{\frac{2187}{n}}=\sqrt{\frac{3^7}{n}}\)
\(=\sqrt{\frac{3^2×3^2×3^2×3}{n}}\)
\(=3×3×3\sqrt{\frac{3}{n}}\)
\(\sqrt{\frac{3}{n}}\)が整数になるためには\(\sqrt{~}\)の中を\(◯^2\)にする！
\(n=m^2×3\)とする
\(3×3×3\sqrt{\frac{3}{n}}\)
\(=3×3×3\sqrt{\frac{3}{m^2×3}}\)
\(=3^3\sqrt{\frac{1}{m^2}}\)
◯ \(\sqrt{~}\)の中は\((\frac{1}{m})^2\)で\(◯^2\)になりました！
よって
\(3^3×\frac{1}{m}\)
\(=\frac{3^3}{m}\)
\(\frac{b}{a},a≠0\)（数学において）
\(\sqrt{~}\)の中はマイナスはない！（中学校の数学において）
\(\frac{3^3}{m}\)を整数にしたい！
「\(m=1\)」のとき
\(\frac{3^3}{1}=3^3\)
「\(m=3^1\)」のとき
\(\frac{3^3}{3^1}=3^2\)
「\(m=3^2\)」のとき
\(\frac{3^3}{3^2}=3^1\)
「\(m=3^3\)」のとき
\(\frac{3^3}{3^3}=1\)
◯ これ以降は\(\frac{3^3}{m}\)が整数にならない！
よって
\(m=1,3^1,3^2,3^3\)
これをそれぞれ\(n=m^2×3\)に代入して
\(n=3,3^3,3^5,3^7\)
例 \((5^3)^2=(5×5×5)^2\)\(
=(5×5×5)×(5×5×5)=5^6\)
答え \(n=3,3^3,3^5,3^7\)
まとめ
難しい問題ですが、意味が理解できれば十分だと思います☆
最初から解ける人は本当にすごいです！
何度も練習して身につけてください☆
