一次関数の利用 ~2直線が交わる~
問題 直線\(y=2x+4\)を①、直線\(y=-x+10\)を②とする。直線①、②と\(x\)軸との交点をそれぞれA、Bとし、直線①と②の交点をPとする。次の問いに答えなさい。
（１）点A、B、Pの座標を求めなさい。
（２）△ABPの面積を求めなさい。
（３）点Pを通り、△ABPの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
もくじ
通る→代入して式が成り立つ！
（１）点A、B、Pの座を標求めなさい。
点A,Bは\(x\)軸上にある
\(y=0\)が確定している！
点A
\(y=2x+4…\)①に\(y=0\)を代入して
\(0=2x+4\\x=-2\)
よって
\(A(-2,0)\)
点B
\(y=-x+10…\)②に\(y=0\)を代入して
\(0=-x+10\\x=10\)
よって
\(B(10,0)\)
点P
２直線の交点→連立方程式の解！
\(\begin{cases} y=2x+4…① \\ y=-x+10…②\end{cases}\)
①を②に代入して
\(2x+4=-x+10\\3x=6\\x=2\)
\(x=2\)を②に代入して
\(y=-2+10=8\)
よって
\(P(2,8)\)
問題からわかったことを図に書き込もう！
座標ではなく、「長さ」で書くのがおすすめ！
（２）△ABPの面積を求めなさい。
(三角形の面積)=(底辺)×(高さ)×\(\frac{1}{2}\)
\( △ABP=(2+10)×8×\frac{1}{2}\\ ~~~~~~~~~~~~=48\)
よって
△ABP=48
（３）点Pを通り、△ABPの面積を２等分する直線の式を求めなさい。
求める直線は点Pと線分ABの中点を通る直線である！
線分ABの中点は
\((\frac{-2+10}{2},0)=(4,0)\)
よって、点P(2,8)と(4,0)を通る直線を求めればいいから
(傾き)\(=\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)
(傾き)\(=\frac{0-8}{4-2}=-4\)
よって
\(y=-4x+b\)
これが(4,0)を通るから
\(0=-4×4+b\\b=16\)
ゆえに
答え \(y=-4x+16\)
まとめ
- 座標ではなく、「長さ」で書くのがおすすめ！
- 三角形を頂点から二等分するときは、「底辺の中点」を通る！
