一次関数の利用 ~正方形になる条件~
問題 座標平面上に点A(2,4)、B(8,0)がある。線分OA上を動く点をPとし、Pから\(x\)軸に水線PQをひき、図のように長方形PQRSを作る。次の問いに答えなさい。
（１）直線OA、ABの式をそれぞれ求めなさい。
（２）OQ=\(a\)として、点P、Sの座標をそれぞれ\(a\)を使って表しなさい。
（３）長方形PQRSが正方形になるときの点Qの\(x\)座標を求めなさい。
問題からわかることを図に書き込む！
（１）直線OA、ABの式をそれぞれ求めなさい。
(傾き)＝\(\frac{(yの増加量)}{(xの増加量)}\)
直線OA
(傾き)\(=\frac{4}{2}=2\)
よって
答え \(y=2x\)
◯ 原点\((0,0)\)を通るから切片は０
直線AB
(傾き)\(=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}\)
よって
\(y=-\frac{2}{3}x+b\)
これが\((8,0)\)を通るから
\(0=-\frac{2}{3}×8+b\\0=-\frac{16}{3}+b\\b=\frac{16}{3}\)
よって
答え \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\)
もくじ
\(x,y\)座標のどちらかがわかれば代入できる！
（２）OQ=\(a\)として、点P、Sの座標をそれぞれ\(a\)を使って表しなさい。
点P
点\(P(a,0)\)は直線OA上だから
\(x=a\) を \(y=2x\)に代入して
\(y=2a\)
よって
\(P(a,2a)\)
点S
「長方形PQRS」より点Pと点Sの\(y\)座標は等しい！
点\(P(p{\tiny{x}},2a)\)は直線OA上だから
\(y=2a\) を \(y=-\frac{2}{3}p{\tiny{x}}+\frac{16}{3}\)に代入して
\(2a=-\frac{2}{3}p{\tiny{x}}+\frac{16}{3}\)
両辺を３倍して
\(6a=-2p{\tiny{x}}+16\\2p{\tiny{x}}=16-6a\\p{\tiny{x}}=8-3a\)
よって
\(S(8-3a,2a)\)
正方形になる条件とは？
（３）長方形PQRSが正方形になるときの点Qの\(x\)座標を求めなさい。
正方形とはすべての辺が等しい四角形である！
長方形PQRSが正方形になるから\(PQ=QR\)
\(PQ=2a\)
\(QR=(8-3a)-a\)
よって
\(PQ=QR\)
\(2a=(8-3a)-a\\2a=8-4a\\6a=8\\a=\frac{4}{3}\)
よって
点Qの\(x\)座標は\(\frac{3}{4}\)
まとめ
- 問題からわかることを図に書き込む！
- \(x,y\)座標のどちらかがわかれば代入できる！
- 正方形とはすべての辺が等しい四角形である！
