斜線部分の面積を求める問題! ~よくあるパターン~

半径\(r\)、中心角\(a°\)のおうぎ形の弧の長さを\(ℓ\)、面積を\(S\)とすると

おうぎ形,弧の長さ,面積

  • 弧の長さ・・・\(ℓ=2πr×\frac{a}{360}\)
  • 面積  ・・・\(S=πr^2×\frac{a}{360}\)

おうぎ形の問題 ~弧の長さと面積~

 

 

 

できるだけ計算しない!

問題 直径\(10cm\)の半円と\(1\)辺の長さが\(10cm\)の正三角形で作られている図の斜線部分の面積を答えなさい。

斜線部分,面積,問題

 

 

 

中3で学習する「三平方の定理」を使えば\(3\)つの斜線部分をそれぞれ計算して求めることができますが、今回は計算ではなく短時間で問題を解く方法を考えます。

  • 面積が等しい場所を探す!
  • 斜線部分の面積を1ヵ所に集める!

 

 

面積が等しい場所

下の図のように補助線をひいて、アルファベットを置きます。

「円の中心から円周に補助線をひく」はめちゃくちゃ使います!
“半径は
等しい”のでとても意味のある線です!

斜線部分,面積,問題

\(\triangle{EAD}\)は正三角形だから

\(\angle{EAD}=60°\)

\(OA=OB\)(半径)より

\(\triangle{OAB}\)は二等辺三角形

よって、\(\angle{OAB}=\angle{OBA}=60°\)

三角形の内角の和が\(180°\)より

\(\angle{BOA}=60°\)

よって、\(\triangle{OAB}\)は正三角形である。

同様に\(\triangle{OCB}\)、\(\triangle{ODC}\)も正三角形

よって、\(\triangle{EBC}\)も正三角形となる。

 

 

1ヵ所に集める

ここで、①と②が同じであると気づきたい!!!

斜線部分,面積,問題

①を②へあてはめると

\(\triangle{EBC}\)となる

斜線部分,面積,問題

\(\triangle{EBC}=\triangle{BAO}\)だから

斜線部分,面積,問題

斜線部分の面積がおうぎ形\(OAB\)になる

 

 

おうぎ形\(OAB\)の面積を求める

おうぎ形の問題 ~弧の長さと面積~

\(OA=5\)、中心角\(60°\)だから

\(\pi×5^2×\frac{60}{360}=\frac{25}{6}\pi\)

答え \(\frac{25}{6}\pi~cm^2\)

 

文字を使った孤の長さを表す問題


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