二次方程式 力をつける!~いろんな問題のパターン~

力をつけるには問題のパターンを知ることが最も大切です☆

見たことない問題がいきなり解ける人はそんなにはいません!

肩の力を抜いて挑戦してください☆

方程式の解は代入して式が成り立つ!

問題1 \(x\)についての二次方程式 \(x^2-4ax-6a-7=0\) が \(x=-2\) を解にもつとき、次の問いに答えなさい。

(1)\(a\)の値

(2)\(x=-2\)以外の解を答えなさい。

 

 

(1)\(a\)の値

方程式の解→代入して式が成り立つ!

\(x=-2\) を \(x^2-4ax-6a-7=0\) に代入して

\( (-2)^2-4a×(-2)-6a-7=0\\ 4+8a-6a-7=0\\ 2a=3\\ a=\frac{3}{2}\)

答え \(a=\frac{3}{2}\)

 

(2)\(x=-2\)以外の解を答えなさい。

(1)より \(a=\frac{3}{2}\)

これを \(x^2-4ax-6a-7=0\) に代入して

\(x^2-4×\frac{3}{2}×x-6×\frac{3}{2}-7=0\\x^2-6x-16=0\\(x-8)(x+2)=0\)

\(x=8,-2\)

答え \(8\)

\(x=-2\)以外の解を答える!

 

 

 

 

 

問題2 二次方程式 \(x^2+ax+3a-2=0\) の負の解が \(x=a\) であるとき、次の問いに答えなさい。

(1)\(a\)の値

(2)その他の解を答えなさい。

 

 

(1)\(a\)の値

方程式の解→代入して式が成り立つ!

\(x=a\) を \(x^2+ax+3a-2=0\) に代入して

\(a^2+a×a+3a-2=0\\a^2+a^2+3a-2=0\\2a^2+3a-2=0\)

因数分解できないから「解の公式」を利用する!

二次方程式 ~解の公式を使いこなす~

\(a=\frac{-3±\sqrt{3^2-4×2×(-2)}}{2×2}\\~~=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{4}\\~~=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}\\~~=\frac{-3±5}{4}\)

よって

\(a=\frac{1}{2},-2\)

\(a<0\)より

答え \(a=-2\)

 

(2)その他の解を答えなさい。

(1)より \(a=-2\)

これを \(x^2+ax+3a-2=0\) に代入して

\(x^2-2x+3×(-2)-2=0\\x^2-2x-6-2=0\\x^2-2x-8=0\\(x-4)(x+2)=0\)

\(x=4,-2\)

答え \(4\)

その他の解を答える!

 

 

 

 

二次方程式が2つの解をもつためには

解が1つのとき(重解)

  • \((x+a)^2=0\)

重解とは?

解が2つのとき

  • \((x+b)(x+c)=0\)

 

問題3 二次方程式 \(x^2+ax+7=0\) の2つの解が正の整数になるような\(a\)の値を求めなさい。

 

解が2つだから \((x+b)(x+c)=0\) の形にしたい!

因数分解を考えて

「かけて7、たして\(a\)」を探せばいいから

因数分解 ~最後にかけてたして~

\((-1)×(-7)=7\)

\((-1)+(-7)=-8\)

よって

\((x-1)(x-7)=0\\x^2-8x+7=0\)

◯ 2つの解が正の整数の範囲だから、かけて\(7\)になるのは「\((-1)×(-7)\)」しかない!

 

問題の二次方程式 \(x^2+ax+7=0\)と比べる!

\(x^2+ax+7=0\)

\(x^2-8x+7=0\)

\(a=-8\)

答え \(a=-8\)

 

 

 

基本は「\(~~~~~~=0\)」の形にしてから解く!

問題4 二次方程式 \((x-2)^2=8-4x\) を解きなさい。

 

\((x-2)^2=8-4x\\x^2-4x+4=8-4x\\x^2-4x+4x+4-8=0\\x^2-4=0\\(x+2)(x-2)=0\)

\(x=±2\)

式の展開方法 ~前2乗全後ろ2乗~ (x+a)2

因数分解 ~何かの2乗を探す~

答え \(x=±2\)

 

 

 

まとめ

どの問題も応用で、基礎基本が身についているか確認するにはちょうどいいです☆

また、問題1〜3は入試レベルです!!

はっきり言って、解き方を知っているかどうかだけです!

解き方を知っておいてくださいね☆

二次方程式の利用を知る! ~基本的なことの確認~


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2 Responses to “二次方程式 力をつける!~いろんな問題のパターン~”

  1. 匿名希望 より:

    問題3の答えが間違っている気がします。
    a=8だと、二つの解は-1と-7になってしまうので題意に反します。
    a=-8ではないでしょうか?

    • 苦手な数学管理人 より:

      ご指摘ありがとうございます。
      「a=-8」に訂正させていただきました。

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