二次関数の利用 ~長方形~

関数 \(y=ax^2\)のグラフ上に\(A\)、\(B\)をとり、関数 \(y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上に\(C\)、\(D\)をとって長方形 \(ABCD\)をつくります。次の問いに答えなさい。

二次関数,長方形

(1)\(A(2,4)\)のとき、点\(C\)の座標を求めなさい。

(2)(1)のとき、△\(OAD\)の面積を求めなさい。

(3)(1)のとき、△\(OBD\)の面積を求めなさい。

(4)長方形\(ABCD\)が正方形になるとき、点\(A\)の座標を求めなさい。

 

 

(1)\(A(2,4)\)のとき、点\(C\)の座標を求めなさい。

点\(B\)は \(A(2,4)\)と\(y\)軸について対称だから

\(B(-2,4)\)

 

長方形\(ABCD\)より

点\(B\)と 点\(C\)の \(x\)座標は等しいから

\(C(-2,Cy)\)

 

通る→代入して式が成り立つ!

\(C(-2,Cy)\)が \(y=\frac{1}{4}x^2\)を通るから

\(Cy=\frac{1}{4}×(-2)^2\\~~~~=\frac{1}{4}×4\\~~~~=1\)

よって

答え \(C(-2,1)\)

 

 

(2)(1)のとき、△\(OAD\)の面積を求めなさい。

二次関数,長方形

 

\(B(-2,4)\)、\(C(-2,1)\)より

\(BC=3\)

四角形\(ABCD\)は長方形だから

\(BC=AD=3\)

また

\(OC=OD=2\)

 

わかることを図に書き込む!

二次関数,長方形

  • 三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)

△\(OAD=3×2×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=3\)

答え \(3\)

 

 

(3)(1)のとき、△\(OBD\)の面積を求めなさい。

二次関数,長方形

(2)より \(C(-2,1)\)

点\(D\)の座標は、\(C(-2,1)\)と \(y\)軸について対称だから

\(D(2,1)\)

 

 

台形から三角形の面積を取り除く

\(B(-2,4)\)、\(D(2,1)\)

\(B\)、\(D\)から \(x\)軸にそれぞれ垂線 \(BB’\)、\(DD’\)をひく

二次関数,長方形

 

  • △\(OBD=\)台形\(BB’D’D-\)(△\(OBB’+\)△\(ODD’)\)
  • 台形の面積=(上底+下底)×高さ×\(\frac{1}{2}\)
  • 三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)

二次関数,長方形

△\(OBD=\)台形\(BB’D’D-\)(△\(OBB’+\)△\(ODD’)\)

△\(OBD=(1+4)×4×\frac{1}{2}-(2×4×\frac{1}{2}+2×1×\frac{1}{2})\\~~~~~~~~=10-(4+1)\\~~~~~~~~=5\)

 

 

条件があるときは文字で置くのが正解!

(4)長方形\(ABCD\)が正方形になるとき、点\(A\)の座標を求めなさい。

二次関数,長方形

\(A(Ax,Ax^2)\)とする

点\(D\)の座標は

\(x=Ax\)を \(y=\frac{1}{4}x^2\)に代入して

\(y=\frac{1}{4}×Ax^2\\~~=\frac{1}{4}Ax^2\)

よって

\(D(Ax,\frac{1}{4}Ax^2)\)

 

正方形はすべての辺の長さが等しい

\(AB=AD\)より

\(2Ax=Ax^2-\frac{1}{4}Ax^2\)

両辺を4倍して

\(8Ax=4Ax^2-Ax^2\\8Ax=3Ax^2\\3Ax^2-8Ax=0\\Ax^2(3Ax-8)=0\\Ax=0,\frac{8}{3}\)

\(Ax>0\)より

\(Ax=\frac{8}{3}\)

よって

答え \(A(\frac{8}{3},\frac{64}{9})\)

 

 

まとめ

面積が一撃で求められないとき

  • 分割で求める!
  • わかるところを求めて、いらないところを取り除く!

簡単に面積が何倍か求められる方法☆

放物線と直線 ~複合問題~


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