二次関数の利用 ~長方形~
関数 \(y=ax^2\)のグラフ上に\(A\)、\(B\)をとり、関数 \(y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上に\(C\)、\(D\)をとって長方形 \(ABCD\)をつくります。次の問いに答えなさい。
（１）\(A(2,4)\)のとき、点\(C\)の座標を求めなさい。
（２）(1)のとき、△\(OAD\)の面積を求めなさい。
（３）(1)のとき、△\(OBD\)の面積を求めなさい。
（４）長方形\(ABCD\)が正方形になるとき、点\(A\)の座標を求めなさい。
（１）\(A(2,4)\)のとき、点\(C\)の座標を求めなさい。
点\(B\)は \(A(2,4)\)と\(y\)軸について対称だから
\(B(-2,4)\)
長方形\(ABCD\)より
点\(B\)と 点\(C\)の \(x\)座標は等しいから
\(C(-2,Cy)\)
通る→代入して式が成り立つ！
\(C(-2,Cy)\)が \(y=\frac{1}{4}x^2\)を通るから
\(Cy=\frac{1}{4}×(-2)^2\\~~~~=\frac{1}{4}×4\\~~~~=1\)
よって
答え \(C(-2,1)\)
（２）(1)のとき、△\(OAD\)の面積を求めなさい。
\(B(-2,4)\)、\(C(-2,1)\)より
\(BC=3\)
四角形\(ABCD\)は長方形だから
\(BC=AD=3\)
また
\(OC=OD=2\)
わかることを図に書き込む！
- 三角形の面積＝底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)
△\(OAD=3×2×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=3\)
答え \(3\)
（３）(1)のとき、△\(OBD\)の面積を求めなさい。
(2)より \(C(-2,1)\)
点\(D\)の座標は、\(C(-2,1)\)と \(y\)軸について対称だから
\(D(2,1)\)
もくじ
台形から三角形の面積を取り除く
\(B(-2,4)\)、\(D(2,1)\)
\(B\)、\(D\)から \(x\)軸にそれぞれ垂線 \(BB’\)、\(DD’\)をひく
- △\(OBD=\)台形\(BB’D’D-\)(△\(OBB’+\)△\(ODD’)\)
- 台形の面積＝(上底＋下底)×高さ×\(\frac{1}{2}\)
- 三角形の面積＝底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)
△\(OBD=\)台形\(BB’D’D-\)(△\(OBB’+\)△\(ODD’)\)
△\(OBD=(1+4)×4×\frac{1}{2}-(2×4×\frac{1}{2}+2×1×\frac{1}{2})\\~~~~~~~~=10-(4+1)\\~~~~~~~~=5\)
条件があるときは文字で置くのが正解！
（４）長方形\(ABCD\)が正方形になるとき、点\(A\)の座標を求めなさい。
\(A(Ax,Ax^2)\)とする
点\(D\)の座標は
\(x=Ax\)を \(y=\frac{1}{4}x^2\)に代入して
\(y=\frac{1}{4}×Ax^2\\~~=\frac{1}{4}Ax^2\)
よって
\(D(Ax,\frac{1}{4}Ax^2)\)
正方形はすべての辺の長さが等しい
\(AB=AD\)より
\(2Ax=Ax^2-\frac{1}{4}Ax^2\)
両辺を４倍して
\(8Ax=4Ax^2-Ax^2\\8Ax=3Ax^2\\3Ax^2-8Ax=0\\Ax^2(3Ax-8)=0\\Ax=0,\frac{8}{3}\)
\(Ax>0\)より
\(Ax=\frac{8}{3}\)
よって
答え \(A(\frac{8}{3},\frac{64}{9})\)
まとめ
面積が一撃で求められないとき
- 分割で求める！
- わかるところを求めて、いらないところを取り除く！
