相似の問題14 ~テスト・受験対策~

問題 図1の四角形\(ABCD\)が長方形のとき次の問いに答えなさい。

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(1)図1において、\(AB=BP\)、\(\triangle{BAP}=a°\)のとき\(\angle{PBC}\)の大きさを\(a\)を使って表しなさい。

(2)図2は、図1において対角線\(AC\)と線分\(BP\)の交点を\(Q\)とした場合を表しています。次の問いに答えなさい。

(ア)\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\)を証明しなさい。

(イ)図2において、点Cを通り線分\(AP\)に平行な直線をひき、線分\(BP\)との交点を\(R\)とします。\(CP:PD=2:1\)のとき、\(PB:QR\)を求めなさい。

 

 

 

二等辺三角形に気づく

(1)図1において、\(AB=BP\)、\(\triangle{BAP}=a°\)のとき\(\angle{PBC}\)の大きさを\(a\)を使って表しなさい。

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問題文からわかることを図に書き込む!

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\(\triangle{BAP}\)は二等辺三角形だから

\(\angle{BPA}=\angle{BAP}=a°\)

三角形の内角の和が\(180°\)より

\(\angle{ABP}+a°+a°=180°\\\angle{ABP}=180°-a°-a°\\\angle{ABP}=180°-2a°\)

答え \(180°-2a°\)

 

 

王道のパターン

(2)図2は、図1において対角線\(AC\)と線分\(BP\)の交点を\(Q\)とした場合を表しています。次の問いに答えなさい。

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(ア)\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\)を証明しなさい。

(イ)図2において、点Cを通り線分\(AP\)に平行な直線をひき、線分\(BP\)との交点を\(R\)とします。\(CP:PD=2:1\)のとき、\(PB:QR\)を求めなさい。

 

 

(ア)\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\)を証明しなさい。

相似,証明

相似を証明するときのポイント!

\(\triangle{ABQ}\)と\(\triangle{CPQ}\)について

\(AB//PC\)より

\(\angle{BAQ}=\angle{PCQ}\)

\(\angle{ABQ}=\angle{CPQ}\)

よって、2組の角がそれぞれ等しいから

\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\) //

 

 

比を揃える

(イ)図2において、点Cを通り線分\(AP\)に平行な直線をひき、線分\(BP\)との交点を\(R\)とします。\(CP:PD=2:1\)のとき、\(PB:QR\)を求めなさい。

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\(AB//PC\)より

\(PQ:BQ=PC:BA=2:3\)

相似,比,揃える

\(AP//RC\)より

\(PQ:QR=AQ:QC=3:2\)

相似,比,揃える

よって

相似,比,揃える

\(PQ\)の比を「6」に揃える!

相似,比,揃える

よって

\(PB:QR=15:4\)

答え \(15:4\)

相似の問題15 ~テスト・受験対策~


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