相似な図形 ~中点連結定理を使う!~

中点連結定理

  • \(PQ=\frac{1}{2}BC\)
  • \(PQ//BC\)

中点連結定理とは?

 

 

中点連結定理に慣れよう!

例題 \(\triangle{ABC}\)で、\(AB\)、\(AC\)の中点をそれぞれ\(M\)、\(N\)とするとき次の問いに答えなさい。

相似,中点

(1)\(MN\)

(2)\(\angle{ABC}\)

 

 

(1)\(MN\)

相似,中点

中点連結定理より

\(MN\)\(=\frac{1}{2}BC\\=\frac{1}{2}×24\\=12\)

答え \(12cm\)

 

 

(2)\(\angle{ABC}\)

比が等しいと平行になる!

相似,中点

\(MN//BC\)より

\(\angle{ABC}\)\(=\angle{AMN}\\=60°\)

答え \(60°\)

 

 

 

どの三角形で中点連結定理を使うか

問題 点\(D\)、\(E\)は \(AB\)を3等分した点で、点\(F\)、\(G\)は \(AC\)を3等分した点です。線分\(DC\)、\(EG\)の交点を\(H\)とし \(HG=1\)のとき次の問いに答えなさい。

相似,中点

(1)\(DF\)

(2)\(EH\)

(3)\(BC\)

 

 

(1)\(DF\)

問題からわかることを図に書き込む!

相似,中点

\(\triangle{CFD}\)で中点連結定理より

\(HG=\frac{1}{2}DF\\1=\frac{1}{2}DF\\DF=2\)

答え \(DF=2\)

 

 

(2)\(EH\)

相似,中点

\(\triangle{AEG}\)で中点連結定理より

\(DF=\frac{1}{2}EG\\2=\frac{1}{2}EG\\EG=4\)

よって

\(EH\)\(=EG-HG\\=4-1\\=3\)

答え \(EH=3\)

 

 

(3)\(BC\)

相似,中点

\(\triangle{DBC}\)で中点連結定理より

\(EH=\frac{1}{2}BC\\3=\frac{1}{2}BC\\BC=6\)

答え \(BC=6\)

 

 

 

まとめ

ピラミッド型をしっかり押さていれば、はっきり言って中点連結定理は必要ありません!

しかし、中点連結定理では\(\frac{1}{2}\)倍(2倍)になることがわかるので、効率的な面もあります☆

相似な図形 ~面積の比~


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