相似の問題⑥ ~テスト・受験対策~
問題 \(AB//DE\)、\(AC//DF\)、\(BC//EF\)、\(AD\perp AB\)、\(AD\perp AC\)、\(AD\perp DE\)、\(AD\perp DF\)で\(AB=2\)、\(AC=1\)、\(DF=3\)、\(\angle{BAC}=90°\)、\(\angle{EDF}=90°\)の立体です。この立体の体積が\(\frac{52}{3}\)であるとき、\(AD\)の長さを求めなさい。
もくじ
相似な立体を考えよう！
直線\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)は１点で交わる！
直線\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)の交点を\(O\)とすると
\(\triangle{ODF}\)で、\(AC//DF\)より
\(OA:OD~\)\(=AC:DF\\=1:3\)
相似比「\(1:3\)」より
体積比「\(1^3:3^3=1:27\)」
体積比から体積を求める
\(O-ABC:O-DEF=1:27\)
\(O-ABC\)の体積を求める
\(O-ABC:ABC-DEF=1:26\\O-ABC:\frac{52}{3}=1:26\\O-ABC:\frac{2}{3}=1:1\\O-ABC=\frac{2}{3}\)
\(OA\)を求める
- \(O-ABC\)=底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{2}{3}=2×1×\frac{1}{2}×OA×\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}=OA×\frac{1}{3}\\OA=2\)
\(AD\)を求める
\(AC//DF\)より
\(OA:OD=AC:DF\\OA:OD=1:3\)
よって
\(OA:AD=1:2\)
\(OA=2\)より
\(2:AD=1:2\\AD=4\)
答え \(4\)
まとめ
「直線\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)は１点で交わる」が最大のポイントです！
最初から気がつくことはなかなか難しいです。
しかし、「こんな方法があるんだ！」と知っておけば、次のから使えるようになります！
