相似の問題⑥ ~テスト・受験対策~

問題 \(AB//DE\)、\(AC//DF\)、\(BC//EF\)、\(AD\perp AB\)、\(AD\perp AC\)、\(AD\perp DE\)、\(AD\perp DF\)で\(AB=2\)、\(AC=1\)、\(DF=3\)、\(\angle{BAC}=90°\)、\(\angle{EDF}=90°\)の立体です。この立体の体積が\(\frac{52}{3}\)であるとき、\(AD\)の長さを求めなさい。

相似,テスト,受験,対策

 

 

相似な立体を考えよう!

直線\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)は1点で交わる!

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直線\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)の交点を\(O\)とすると

\(\triangle{ODF}\)で、\(AC//DF\)より

\(OA:OD~\)\(=AC:DF\\=1:3\)

相似比「\(1:3\)」より

体積比「\(1^3:3^3=1:27\)」

相似比と面積比と体積比はお友だち☆

 

 

体積比から体積を求める

\(O-ABC:O-DEF=1:27\)

相似,体積比

\(O-ABC\)の体積を求める

\(O-ABC:ABC-DEF=1:26\\O-ABC:\frac{52}{3}=1:26\\O-ABC:\frac{2}{3}=1:1\\O-ABC=\frac{2}{3}\)

 

\(OA\)を求める

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  • \(O-ABC\)=底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)

\(\frac{2}{3}=2×1×\frac{1}{2}×OA×\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}=OA×\frac{1}{3}\\OA=2\)

 

\(AD\)を求める

\(AC//DF\)より

\(OA:OD=AC:DF\\OA:OD=1:3\)

よって

\(OA:AD=1:2\)

相似,テスト,受験,対策

\(OA=2\)より

\(2:AD=1:2\\AD=4\)

答え \(4\)

 

 

まとめ

「直線\(AD\)、\(BE\)、\(CF\)は1点で交わる」が最大のポイントです!

最初から気がつくことはなかなか難しいです。

しかし、「こんな方法があるんだ!」と知っておけば、次のから使えるようになります!

相似の問題⑦ ~テスト・受験対策~


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