相似の問題③　~テスト・受験対策~

問題　図１は四角形$ABCD$は正方形です。点$E$は対角線$AC$上にある点で、$AE=2EC$である。点$B$と点$E$を結び、線分$BE$を$E$の方向に延長した直線と辺$CD$との交点を$F$とし、点$D$と点$E$を結びました。次の問いに答えなさい。

 

（１）$\angle{ADE}=\angle{CFE}$を証明しなさい。

（２）図２は、図１で線分$AE$の中点を$G$、点$B$と点$G$を結び線分$BG$を$G$の方向に延長した直線と辺$AD$との交点を$H$としたときを表しています。$\angle{EDF}=a°$とするとき、$\angle{AGH}$の大きさを$a$使った式で表しなさい。

（３）図２で、点$F$と点$G$を結び、$AB=6cm$のとき$\triangle{BFG}$の面積を求めなさい。

 

 

相似条件は何を使う？

（１）$\angle{ADE}=\angle{CFE}$を証明しなさい。

問題からわかることを図に書き込む！

• $\triangle{ADE}$∽$\triangle{CFE}$が証明できれば
  $\angle{ADE}=\angle{CFE}$を証明できる！

 

$\triangle{ADE}$と$\triangle{CFE}$について

仮定より、$AE:CE=2:1…$①

 

$AB//FC$より

$\triangle{EAB}$∽$\triangle{ECF}$

蝶々型！

よって

$AB:FC=2:1$

 

四角形$ABCD$は正方形だから

$AB=AD$

よって、$AD:CF=2:1…$②

相似条件の中から、使えそうなものを考える！

• ３組の辺の比がそれぞれ等しい
• ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• ２組の角がそれぞれ等しい

正方形$ABCD$で、$AC$は対角線だから

$\angle{DAE}=\angle{FCE}…$③

よって、①②③より２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから

$\triangle{ADE}$∽$\triangle{CFE}$

ゆえに

$\angle{ADE}=\angle{CFE}$　//

 

 

広い視野で考えよう！

（２）図２は、図１で線分$AE$の中点を$G$、点$B$と点$G$を結び線分$BG$を$G$の方向に延長した直線と辺$AD$との交点を$H$としたときを表しています。$\angle{EDF}=a°$とするとき、$\angle{AGH}$の大きさを$a$使った式で表しなさい。

$AE=2EC$、$AG=GE$より

$AG:GE:EC=1:1:1$

$AH//BC$より

$AH:BC=AG:GC=1:2$

 

$AD=BC$より

$AH:HD=1:1$

$AG:GE=AH:HD=1:1$より

$GH//ED$

比が等しいと平行になる！

$\angle{AHG}=\angle{ADE}=90°-a°…$④

$\angle{HAG}=45°…$⑤

④⑤と三角形の内角の和が$180°$より

$(90-a)°+45°+\angle{AGH}=180°\\\angle{AGH}=180°-(90-a)°-45°\\\angle{AGH}=45°+a°$

答え　$45°+a°$

 

 

直接求めることができなければ？

（３）図２で、点$F$と点$G$を結び、$AB=6cm$のとき$\triangle{BFG}$の面積を求めなさい。

• $\triangle{BFG}=\triangle{FBC}$

$GE=EC$より

$\triangle{GBE}=\triangle{EBC}$

$\triangle{GEF}=\triangle{FEC}$

よって

$\triangle{FBC}$の面積を求めればいいから

$AB//FC$より

$AB:CF=AE:CE\\6:CF=2:1\\3:CF=1:1\\CF=3$

よって

$\triangle{FBC}~$$=3×6×\frac{1}{2}\\=9$

答え　$9~cm^2$

相似の問題④　~テスト・受験対策~