相似の問題③ ~テスト・受験対策~
問題 図１は四角形\(ABCD\)は正方形です。点\(E\)は対角線\(AC\)上にある点で、\(AE=2EC\)である。点\(B\)と点\(E\)を結び、線分\(BE\)を\(E\)の方向に延長した直線と辺\(CD\)との交点を\(F\)とし、点\(D\)と点\(E\)を結びました。次の問いに答えなさい。
（１）\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\)を証明しなさい。
（２）図２は、図１で線分\(AE\)の中点を\(G\)、点\(B\)と点\(G\)を結び線分\(BG\)を\(G\)の方向に延長した直線と辺\(AD\)との交点を\(H\)としたときを表しています。\(\angle{EDF}=a°\)とするとき、\(\angle{AGH}\)の大きさを\(a\)使った式で表しなさい。
（３）図２で、点\(F\)と点\(G\)を結び、\(AB=6cm\)のとき\(\triangle{BFG}\)の面積を求めなさい。
もくじ
相似条件は何を使う？
（１）\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\)を証明しなさい。
問題からわかることを図に書き込む！
- \(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{CFE}\)が証明できれば
\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\)を証明できる！
\(\triangle{ADE}\)と\(\triangle{CFE}\)について
仮定より、\(AE:CE=2:1…\)①
\(AB//FC\)より
\(\triangle{EAB}\)∽\(\triangle{ECF}\)
蝶々型！
よって
\(AB:FC=2:1\)
四角形\(ABCD\)は正方形だから
\(AB=AD\)
よって、\(AD:CF=2:1…\)②
相似条件の中から、使えそうなものを考える！
- ３組の辺の比がそれぞれ等しい
- ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- ２組の角がそれぞれ等しい
正方形\(ABCD\)で、\(AC\)は対角線だから
\(\angle{DAE}=\angle{FCE}…\)③
よって、①②③より２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{CFE}\)
ゆえに
\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\) //
広い視野で考えよう！
（２）図２は、図１で線分\(AE\)の中点を\(G\)、点\(B\)と点\(G\)を結び線分\(BG\)を\(G\)の方向に延長した直線と辺\(AD\)との交点を\(H\)としたときを表しています。\(\angle{EDF}=a°\)とするとき、\(\angle{AGH}\)の大きさを\(a\)使った式で表しなさい。
\(AE=2EC\)、\(AG=GE\)より
\(AG:GE:EC=1:1:1\)
\(AH//BC\)より
\(AH:BC=AG:GC=1:2\)
\(AD=BC\)より
\(AH:HD=1:1\)
\(AG:GE=AH:HD=1:1\)より
\(GH//ED\)
\(\angle{AHG}=\angle{ADE}=90°-a°…\)④
\(\angle{HAG}=45°…\)⑤
④⑤と三角形の内角の和が\(180°\)より
\((90-a)°+45°+\angle{AGH}=180°\\\angle{AGH}=180°-(90-a)°-45°\\\angle{AGH}=45°+a°\)
答え \(45°+a°\)
直接求めることができなければ？
（３）図２で、点\(F\)と点\(G\)を結び、\(AB=6cm\)のとき\(\triangle{BFG}\)の面積を求めなさい。
- \(\triangle{BFG}=\triangle{FBC}\)
\(GE=EC\)より
\(\triangle{GBE}=\triangle{EBC}\)
\(\triangle{GEF}=\triangle{FEC}\)
よって
\(\triangle{FBC}\)の面積を求めればいいから
\(AB//FC\)より
\(AB:CF=AE:CE\\6:CF=2:1\\3:CF=1:1\\CF=3\)
よって
\(\triangle{FBC}~\)\(=3×6×\frac{1}{2}\\=9\)
答え \(9~cm^2\)
