相似の問題③ ~テスト・受験対策~

問題 図1は四角形\(ABCD\)は正方形です。点\(E\)は対角線\(AC\)上にある点で、\(AE=2EC\)である。点\(B\)と点\(E\)を結び、線分\(BE\)を\(E\)の方向に延長した直線と辺\(CD\)との交点を\(F\)とし、点\(D\)と点\(E\)を結びました。次の問いに答えなさい。

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(1)\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\)を証明しなさい。

(2)図2は、図1で線分\(AE\)の中点を\(G\)、点\(B\)と点\(G\)を結び線分\(BG\)を\(G\)の方向に延長した直線と辺\(AD\)との交点を\(H\)としたときを表しています。\(\angle{EDF}=a°\)とするとき、\(\angle{AGH}\)の大きさを\(a\)使った式で表しなさい。

(3)図2で、点\(F\)と点\(G\)を結び、\(AB=6cm\)のとき\(\triangle{BFG}\)の面積を求めなさい。

 

 

相似条件は何を使う?

(1)\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\)を証明しなさい。

問題からわかることを図に書き込む!

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  • \(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{CFE}\)が証明できれば
    \(\angle{ADE}=\angle{CFE}\)を証明できる!

 

\(\triangle{ADE}\)と\(\triangle{CFE}\)について

仮定より、\(AE:CE=2:1…\)①

 

\(AB//FC\)より

\(\triangle{EAB}\)∽\(\triangle{ECF}\)

蝶々型!

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よって

\(AB:FC=2:1\)

 

四角形\(ABCD\)は正方形だから

\(AB=AD\)

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よって、\(AD:CF=2:1…\)②

相似条件の中から、使えそうなものを考える!

  • 3組の辺の比がそれぞれ等しい
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
  • 2組の角がそれぞれ等しい

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正方形\(ABCD\)で、\(AC\)は対角線だから

\(\angle{DAE}=\angle{FCE}…\)③

よって、①②③より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから

\(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{CFE}\)

ゆえに

\(\angle{ADE}=\angle{CFE}\) //

 

 

広い視野で考えよう!

(2)図2は、図1で線分\(AE\)の中点を\(G\)、点\(B\)と点\(G\)を結び線分\(BG\)を\(G\)の方向に延長した直線と辺\(AD\)との交点を\(H\)としたときを表しています。\(\angle{EDF}=a°\)とするとき、\(\angle{AGH}\)の大きさを\(a\)使った式で表しなさい。

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\(AE=2EC\)、\(AG=GE\)より

\(AG:GE:EC=1:1:1\)

\(AH//BC\)より

\(AH:BC=AG:GC=1:2\)

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\(AD=BC\)より

\(AH:HD=1:1\)

\(AG:GE=AH:HD=1:1\)より

\(GH//ED\)

比が等しいと平行になる!

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\(\angle{AHG}=\angle{ADE}=90°-a°…\)④

\(\angle{HAG}=45°…\)⑤

④⑤と三角形の内角の和が\(180°\)より

\((90-a)°+45°+\angle{AGH}=180°\\\angle{AGH}=180°-(90-a)°-45°\\\angle{AGH}=45°+a°\)

答え \(45°+a°\)

 

 

直接求めることができなければ?

(3)図2で、点\(F\)と点\(G\)を結び、\(AB=6cm\)のとき\(\triangle{BFG}\)の面積を求めなさい。

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  • \(\triangle{BFG}=\triangle{FBC}\)

\(GE=EC\)より

\(\triangle{GBE}=\triangle{EBC}\)

\(\triangle{GEF}=\triangle{FEC}\)

よって

\(\triangle{FBC}\)の面積を求めればいいから

\(AB//FC\)より

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\(AB:CF=AE:CE\\6:CF=2:1\\3:CF=1:1\\CF=3\)

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よって

\(\triangle{FBC}~\)\(=3×6×\frac{1}{2}\\=9\)

答え \(9~cm^2\)

相似の問題④ ~テスト・受験対策~


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