体積が最大になる問題の解き方

問題 図のように、直径\(AB=8cm\)である半円\(O\)があります。点\(P\)は\(\stackrel{\frown}{AB}\)上を点\(A\)から点\(B\)まで動きます。\(\triangle{ABP}\)を線分\(AB\)を軸として\(1\)回転させてできる立体の体積が最大になるとき、その立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は\(\pi\)とします。

体積,最大,解き方

 

 

回転させてできる立体の体積を考える

線分\(AB\)を軸として\(1\)回転させると、円錐が\(2\)つ合わさった立体ができる!

体積,最大,解き方

このとき\(2\)つの円錐は、「どちらも底面が同じ円」である。

体積,最大,解き方

 

\(P\)の位置が動くと体積はどうなる?

\(P\)の位置を動かしたときの立体を見てみましょう!

体積,最大,解き方

さっきより体積が大きくなっている。

なぜ?

  • 底面の円が大きくなっている。
  • 高さは\(AB\)のまま変わっていない。

以上のことから、点\(P\)と線分\(AB\)の距離(底面の円の半径)が最大になるとき回転体の体積が最大になる。

 

 

体積が最大になるとき

体積,最大,解き方

「図のように、直径\(AB=8cm\)である半円\(O\)があります。」より

底面の円は半径\(4cm\)だから、底面積は

\(\pi ×4^2=16\pi\)

 

\(AO=BO=4\)より、\(2\)つの円錐の体積は同じだから

底面積も高さも同じ!

  • 体積=底面積×高さ×\(\frac{1}{3}\)(錐なら\(\frac{1}{3}\)倍)

球の表面積と体積の求め方!

\(16\pi ×4×\frac{1}{3}×2=\frac{128}{3}\pi\)

答え \(\frac{128}{3}\pi~cm^3\)

 

 

まとめ

どこが最大になるかわからなければ、とりあえず動いた図を書こう!

頭の中でイメージできるようになるのが理想ですが、いきなりは無理です。

何度も問題を解けば自然とできるようになるでしょう♪焦らずじっくりいきましょう!!!


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