斜線部分の面積を求める問題！ ~よくあるパターン~

半径$r$、中心角$a°$のおうぎ形の弧の長さを$ℓ$、面積を$S$とすると

• 弧の長さ・・・$ℓ=2πr×\frac{a}{360}$
• 面積　　・・・$S=πr^2×\frac{a}{360}$

おうぎ形の問題　~弧の長さと面積~

 

 

 

できるだけ計算しない！

問題　直径$10cm$の半円と$1$辺の長さが$10cm$の正三角形で作られている図の斜線部分の面積を答えなさい。

 

 

 

中３で学習する「三平方の定理」を使えば$3$つの斜線部分をそれぞれ計算して求めることができますが、今回は計算ではなく短時間で問題を解く方法を考えます。

• 面積が等しい場所を探す！
• 斜線部分の面積を１ヵ所に集める！

 

 

面積が等しい場所

下の図のように補助線をひいて、アルファベットを置きます。

「円の中心から円周に補助線をひく」はめちゃくちゃ使います！
“半径は等しい”のでとても意味のある線です！

$\triangle{EAD}$は正三角形だから

$\angle{EAD}=60°$

$OA=OB$（半径）より

$\triangle{OAB}$は二等辺三角形

よって、$\angle{OAB}=\angle{OBA}=60°$

三角形の内角の和が$180°$より

$\angle{BOA}=60°$

よって、$\triangle{OAB}$は正三角形である。

同様に$\triangle{OCB}$、$\triangle{ODC}$も正三角形

よって、$\triangle{EBC}$も正三角形となる。

 

 

１ヵ所に集める

ここで、①と②が同じであると気づきたい！！！

①を②へあてはめると

$\triangle{EBC}$となる

$\triangle{EBC}=\triangle{BAO}$だから

斜線部分の面積がおうぎ形$OAB$になる

 

 

おうぎ形$OAB$の面積を求める

おうぎ形の問題　~弧の長さと面積~

$OA=5$、中心角$60°$だから

$\pi×5^2×\frac{60}{360}=\frac{25}{6}\pi$

答え　$\frac{25}{6}\pi~cm^2$

 

文字を使った孤の長さを表す問題