平方根 ~条件を満たす値~ 差をつけたい上級者向け
「とりあえず代入すれば問題が解ける」、「公式を知らなくても時間をかければ問題が解ける」など数学は様々な解き方があります！
どうせ解くなら、無駄なく解く術を身に付けたいものです☆
もくじ
求め方で差がつく
問題1 \(\sqrt{20n}\)が自然数となるような整数\(n\)の値を、\(0<n<100\)の範囲ですべて求めなさい。
パターン1
「そのまま代入する」
考え方はとてもストレートです！
◯ メリット
とりあえず代入すれば答えが出るので、色々考えるより計算すれば答えが出せる！
◯ デメリット
\(0<n<100\)ですべてを代入するには、とにかく時間がかかる。
パターン2
「条件を満たす値を考える」
何が必要かを見極め、無駄を省く！
◯ メリット
時間が短縮できる！よって無駄なミスが減る！
◯ デメリット
考え方がわからないと全く応用することができない。
条件を満たす値を考える
問題1 \(\sqrt{20n}\)が自然数となるような整数\(n\)の値を、\(0<n<100\)の範囲ですべて求めなさい。
\(\sqrt{20n}\)が自然数となるためには\(\sqrt{~}\)の中が\(◯^2\)になる！
\(\sqrt{20n}=\sqrt{2^2×5×n}\)
\(\sqrt{~}\)の中が\(◯^2\)になれば\(\sqrt{~}\)が外れるから
\(n=5×m^2\)とすると
\(\sqrt{2^2×5×n}=\sqrt{2^2×5^2×m^2}\)
\(\sqrt{~}\)の中が\(◯^2\)になっているから\(\sqrt{~}\)が外れる！
例 \(\sqrt{2^2×3^2}=2×3=6\)
\(0<n<100\) より
\(0<5×m^2<100\)
◯ \(n=5×m^2\)を代入！
\(\frac{1}{5}\)倍して
\(0<m^2<20\)
これを満たす\(m\)は
\(m=1,2,3,4…\)①
①をそれぞれ\(n=5×m^2\)に代入して
\(n=5,20,45,80\)
答え \(n=5,20,45,80\)
問題2 \(\sqrt{10-a}\)が整数となるような自然数\(a\)の値をすべてを求めなさい。
\(\sqrt{0^2},\sqrt{1^2},\sqrt{2^2},\sqrt{3^2}\)と判断する！
中学の数学では「\(\sqrt{~}\)の中がマイナスになる」はありません！
\(\sqrt{10-a}=\sqrt{0^2}\)のとき
\(10-a=0^2\)
「0は整数！」
\(a=10\)
\(\sqrt{10-a}=\sqrt{1^2}\)のとき
\(10-a=1^2\)
\(a=9\)
\(\sqrt{10-a}=\sqrt{2^2}\)のとき
\(10-a=2^2\)
\(a=6\)
\(\sqrt{10-a}=\sqrt{3^2}\)のとき
\(10-a=3^2\)
\(a=1\)
よって
答え \(a=1,6,9,10\)
\(a\)は自然数！
まとめ
何度も問題を解くと自然に身につきます☆
焦らず何度も挑戦することが一番の近道です！
頑張ってください！
