放物線と直線 ~面積比~

一次関数のグラフ ~最初に知っておくこと~

二次関数 ~めっちゃわかる基本!~ 

 

 

基本事項を思い出して解く!

問題 \(A(1,1)\)、\(B(2,0)\)とします。点\(A\)を通る放物線の方程式が \(y=ax^2\)で、放物線上の \(x=2\)に対応する点を\(C\)とするとき、次の問いに答えなさい。

放物線,直線,面積,比

(1)\(a\)の値を求めなさい。

(2)直線\(AB\)の方程式を求めなさい。

(3)放物線と直線\(AB\)の交点で、点\(D\)の座標を求めなさい。

(4)△\(OAD\)と△\(ACD\)の面積比を最も簡単な整数で表しなさい。

 

 

(1)\(a\)の値を求めなさい。

通る→代入して式が成り立つ!

\(A(1,1)\)が \(y=ax^2\)を通るから

\(1=a×1^2\\a=1\)

答え \(a=1\)

 

 

(2)直線\(AB\)の方程式を求めなさい。

\(A(1,1)\)、\(B(2,0)\)

傾き\(=\frac{0-1}{2-1}\\=-1\)

よって

\(y=-x+b\)

これが \(B(2,0)\)を通るから

\(0=-2+b\\b=2\)

よって

答え \(y=-x+2\)

 

 

(3)放物線と直線\(AB\)の交点で、点\(D\)の座標を求めなさい。

交点→連立方程式!

\(\begin{cases} y=x^2…① \\ y=-x+2…②\end{cases}\) 

連立方程式の解き方 代入法

①を②に代入して

\(x^2=-x+2\\x^2+x-2=0\)

因数分解 ~最後にかけてたして~

\(x^2+x-2=0\\(x+2)(x-1)=0\)

\(x=-2,1\)

 

点\(D\)は \(x<0\)より

\(x=2\)を①に代入して

\(y=2^2\\~~=4\)

よって

答え \(D(-2,4)\)

 

 

面積を求めよう!

(4)△\(OAD\)と△\(ACD\)の面積比を最も簡単な整数で表しなさい。

放物線,直線,面積,比

△\(OAD\)の面積を求める!

一撃では求められないから分割で求める!

直線\(BD\)と \(y\)軸との交点を \(E\)として

放物線,直線,面積,比

 

直線\(AB\)は \(y=-x+2\)より

\(E(0,2)\)

 

わかることを図に書き込む!

放物線,直線,面積,比

  • △\(OAD=\)△\(ODE+\)△\(OAE\)

△\(OAD=2×2×\frac{1}{2}+2×1×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=2+1\\~~~~~~~~=3\)

 

△\(ACD\)の面積を求める!

放物線,直線,面積,比

△\(ACD=4×3×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=6\)

よって

\(△ OAD:△ ACD=3:6\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1:2\)

答え \(△ OAD:△ ACD=1:2\)

 

 

まとめ

最後の問題は、面積比を答える問題でした。

今回の問題では最も簡単な整数で表しなさい。」と書いてありましたが、比を答える問題では、何も書いてなくても”最も簡単な整数の比”で答えるのが一般的です!

放物線と直線


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