二次関数の利用 ~グラフ系の問題⑧~
ポイント！
- 問題からわかることを図に書き込む
- 通る→代入して式が成り立つ
問題 図のように、関数 \(y=-\frac{1}{4}x^2\)上の点A、\(y=ax^2\)上の点Bがあります。どちらも\(x\)座標は２です。直線 \(y=\frac{1}{2}x\)が△\(OAB\)を二等分するとき、次の問いに答えなさい。
（１）点\(A\)の座標
（２）\(a\)の値
（１）点\(A\)の座標
通る→代入して式が成り立つ
点\(A\)の \(x\)座標が２だから
\(x=2\)を \(y=-\frac{1}{4}x^2\)に代入して
\(y=-\frac{1}{4}×2^2\\~~=-\frac{1}{4}×4\\~~=-1\)
よって
答え \(A(2,-1)\)
もくじ
三角形を二等分すると聞いたら即反応できるか⁉︎
- 三角形の頂点を通り二等分するときは、必ず中点を通る！
（２）\(a\)の値
\(A\)の\(x\)座標が２より
\(x=2\)を \(y=-\frac{1}{4}x^2\)に代入して
\(y=-\frac{1}{4}×2^2\\~~=-\frac{1}{4}×4\\~~=-1\)
よって
\(A(2,-1)\)
\(B\)の\(x\)座標が２より
\(x=2\)を \(y=ax^2\)に代入して
\(y=a×2^2\\~~=4a\)
よって
\(B(2,4a)\)
\(A\)、\(B\)の中点を\(M\)として考える！
\(A(2,-1)\)と \(B(2,4a)\)の中点を\(M\)とすると
\(~~(\frac{2+2}{2},\frac{-1+4a}{2})=(2,\frac{-1+4a}{2})\)
よって
\(M(2,\frac{-1+4a}{2})\)
通る→代入して式が成り立つ
\(M(2,\frac{-1+4a}{2})\)が \(y=\frac{1}{2}x\)を通るから
\(\frac{-1+4a}{2}=\frac{1}{2}×2\\\frac{-1+4a}{2}=1\\-1+4a=2\\4a=3\\a=\frac{3}{4}\)
よって
答え \(a=\frac{3}{4}\)
まとめ
- 三角形の頂点を通り、面積を二等分するときは必ず中点を通る！
- \(A(Ax,Ay),B(Bx,By)\)の中点は \(M(\frac{Ax+Bx}{2},\frac{Ay+By}{2})\)
