二次関数の利用 ~グラフ系の問題⑧~

ポイント!

  • 問題からわかることを図に書き込む
  • 通る→代入して式が成り立つ

 

 

問題 図のように、関数 \(y=-\frac{1}{4}x^2\)上の点A、\(y=ax^2\)上の点Bがあります。どちらも\(x\)座標は2です。直線 \(y=\frac{1}{2}x\)が△\(OAB\)を二等分するとき、次の問いに答えなさい。

二次関数,中点

(1)点\(A\)の座標

(2)\(a\)の値

 

 

(1)点\(A\)の座標

通る→代入して式が成り立つ

点\(A\)の \(x\)座標が2だから

\(x=2\)を \(y=-\frac{1}{4}x^2\)に代入して

\(y=-\frac{1}{4}×2^2\\~~=-\frac{1}{4}×4\\~~=-1\)

よって

答え \(A(2,-1)\)

 

 

 

三角形を二等分すると聞いたら即反応できるか⁉︎

  • 三角形の頂点を通り二等分するときは、必ず中点を通る!

一次関数の利用 ~2直線が交わる~

中点を簡単に求める方法☆

 

二次関数,中点

(2)\(a\)の値

\(A\)の\(x\)座標が2より

\(x=2\)を \(y=-\frac{1}{4}x^2\)に代入して

\(y=-\frac{1}{4}×2^2\\~~=-\frac{1}{4}×4\\~~=-1\)

よって

\(A(2,-1)\)

 

\(B\)の\(x\)座標が2より

\(x=2\)を \(y=ax^2\)に代入して

\(y=a×2^2\\~~=4a\)

よって

\(B(2,4a)\)

 

 

\(A\)、\(B\)の中点を\(M\)として考える!

\(A(2,-1)\)と \(B(2,4a)\)の中点を\(M\)とすると

\(~~(\frac{2+2}{2},\frac{-1+4a}{2})=(2,\frac{-1+4a}{2})\)

中点を簡単に求める方法☆

よって

\(M(2,\frac{-1+4a}{2})\)

 

二次関数,中点

 

通る→代入して式が成り立つ

\(M(2,\frac{-1+4a}{2})\)が \(y=\frac{1}{2}x\)を通るから

\(\frac{-1+4a}{2}=\frac{1}{2}×2\\\frac{-1+4a}{2}=1\\-1+4a=2\\4a=3\\a=\frac{3}{4}\)

よって

答え \(a=\frac{3}{4}\)

 

 

 

まとめ
  • 三角形の頂点を通り、面積を二等分するときは必ず中点を通る!
  • \(A(Ax,Ay),B(Bx,By)\)の中点は \(M(\frac{Ax+Bx}{2},\frac{Ay+By}{2})\)

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