一次関数と二次関数(変域の問題~受験編~)

二次関数 ~めっちゃわかる基本!~

 

放物線はどっちに開いているのか?

問題 2つの関数\(~y=ax^2(a>0)\)、\(y=-2x+b~\)は、\(x~\)の変域が\(~-4≦x≦2~\)のとき\(~y~\)の変域が一致する。\(a\)、\(b\)の値を求めなさい。

 

 

まずは一次関数「\(~y=ax^2~\)」に注目しよう!

\(a>0\)より

放物線は上に開く(下に凸)

放物線,上,開く

\(~y=ax^2~\)で、\(~-4≦x≦2~\)より

\(x=4\)のとき最大値

\(y=a×(-4)^2\\y=16a\)

最小値は

\(y=0\)

となる

二次関数,変域

二次関数 ~変域は手描きで攻略せよ!~

 

 

一次関数(直線)を重ねよう!

\(y=-2x+b\)は

\(x=-4\)のとき最大値\(16a\)を通るから

\(16a=-2×(-4)+b\)

よって、\(16a=8+b…①\)

また、\(x=2\)のとき最小値\(0\)を通るから

\(0=-2×2+b\\b=4\)

 

これを①に代入して

\(16a=8+4\\a=\frac{3}{4}\)

二次関数,一次関数,変域

よって

答え \(a=\frac{3}{4}\)、\(b=4\)

 

 

解く手がかりは問題に必ずある!

今回の問題では、\(~y=ax^2(a>0)\)から上に開いた放物線であることがわかり、最大値、最小値がわかりました。あとは点を通るので代入するだけです!

何度も問題を解いてパターンを身につけるといいと思います!


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