平行四辺形であることを証明する!

平行四辺形の定義

  • 2組の向かい合う辺が、それぞれ平行な四角形

平行四辺形,性質

平行四辺形の性質

  • 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい
  • 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい
  • 対角線がそれぞれの中点で交わる
  • 1組の向かい合う辺が等しくて平行

 

 

 

1組の向かい合う辺が等しくて平行が一番楽⁉︎

問題1 平行四辺形\(ABCD\)の辺\(AD\)、\(BC\)の中点をそれぞれ \(M\)、\(N\)とするとき、四角形\(ANCM\)が平行四辺形であることを証明しなさい。

平行四辺形,証明

 

どんな条件で平行四辺形を証明するか考える!

平行四辺形\(ABCD\)より

\(AD=BC…\)①

\(AD//BC…\)③

仮定より

\(AM=DM~,~BN=CN…\)②

①、②より

平行四辺形,証明

\(AM=NC…\)④

③より

\(AM//NC…\)⑤

よって

④、⑤より 1組の向かい合う辺が等しくて平行だから

四角形\(ANCM\)は平行四辺形である //

 

 

 

対角線があるってことは⁉︎

問題2 平行四辺形\(ABCD\)の対角線\(AC\)上に点\(P\)、\(Q\)、対角線\(BD\)上に点\(R\)、\(S\)を \(AP=CQ\)、\(BR=DS\)となるようにとります。このとき四角形\(PRQS\)は平行四辺形であることを証明しなさい。

平行四辺形,証明

 

平行四辺形\(ABCD\)の対角線の交点を\(O\)とする

平行四辺形,証明

平行四辺形の性質より

\(OA=OC…\)①

\(OB=OD…\)②

①と \(AP=CQ\)より

\(OP=OQ…\)③

②と\(BR=DS\)より

\(OR=OS…\)④

平行四辺形,証明

③、④より 対角線がそれぞれの中点で交わるから

四角形\(PRQS\)は平行四辺形である //

 

 

まとめ

平行四辺形になることを証明するときは、どの条件に当てはまりそうか考えてから解答を始めるようにしましょう!

思いつかなくても、すべての条件を順番に当てはめていけば必ず解けるはずです☆

平行四辺形であるといえるか?


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