二次方程式 ~解の公式を使いこなす~

絶対に知っておくべき「解の公式」

基本的に「解の公式」は覚えるだけです!

覚えて使う!

以上終了です☆

 

 

解の公式とは?

二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)において

  • \(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~~~\)\((a≠0)\)

これを覚えるだけです!

 

なぜこの公式になるのか?

\(ax^2+bx+c=0~~~~(a≠0)\)

半分2乗ひくで、無理やり解を求めます!

\( ax^2+bx+c=0\\ a(x^2+\frac{b}{a}x)+c=0\\ a\bigl\{ (x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2 \bigr\}+c=0\\ a\bigl\{ (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2} \bigr\}+c=0\\ a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c=0\\ a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a}-c\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ x+\frac{b}{2a}=±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\ x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

となります☆

こんなの理解できなくてOKです!

式を見て理解できたらスゴイです☆

 

大切なのは

  • \(x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~~~~\)\((a≠0)\)

 

 

解の公式は使いこなすことが重要!

問題1 \(x^2-4x-7=0\)を解の公式を使って解きなさい。

 

a=1,b=-4,c=-7として解の公式を利用する!

\( x=\frac{-(-4)±\sqrt{(-4)^2-4×1×(-7)}}{2×1}\\ ~~=\frac{4±\sqrt{16+28}}{2}\\ ~~=\frac{4±\sqrt{44}}{2}\\ ~~=\frac{4±2\sqrt{11}}{2}\\ ~~=2±\sqrt{11}\)

答え \(x=2±\sqrt{11}\)

◯ 解の公式に代入するだけです!

 

 

 

 

問題2 \(2x^2-3x+1=0\)を解の公式を使って解きなさい。

 

a=2,b=-3,c=1として解の公式を利用する!

\(x=\frac{-(-3)±\sqrt{(-3)^2-4×2×1}}{2×2}\\ ~~=\frac{3±\sqrt{9-8}}{4}\\ ~~=\frac{3±\sqrt{1}}{4}\\ ~~=\frac{3±1}{4}\\ ~~=1,\frac{1}{2} \)

答え \(x=1,\frac{1}{2} \)

 

 

 

問題3 \(3x^2-5x+1=0\)を解の公式を使って解きなさい。

 

a=3,b=-5,c=1として解の公式を利用する!

\( x=\frac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4×3×1}}{2×3}\\ ~~=\frac{5±\sqrt{25-12}}{6}\\ ~~=\frac{5±\sqrt{13}}{6}\)

答え \(x=\frac{5±\sqrt{13}}{6}\)

 

 

解の公式まとめ

メリット

  • 代入すれば解を求めることができる!

デメリット

  • 時間がかかる!
  • 計算ミスが増える!

 

以上のことから

  • まず因数分解をする!
  • 因数分解ができないときにしかたなく解の公式をつかう!

解の公式を覚えることは必須ですが、基本は因数分解からです☆

二次方程式 力をつける!~いろんな問題のパターン~


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