二次関数の利用 ~面積を2等分する~

問題 \(O\)は原点、\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)は関数 \(y=ax^2\)(\(a\)は定数で \(a>0\)とする)のグラフ上の点で、線分\(AD\)、\(BC\)はともに\(x\)軸に平行です。\(A(-2,8)\)、点\(B\)の\(x\)座標が\(-1\)であるとき、点\(B\)を通り四角形\(ABCD\)の面積を2等分する直線を求めなさい。

二次関数,二等分

 

わかるところから順番に求めていこう!

\(a\)がわかる!

\(A(-2,8)\)が \(y=ax^2\)を通るから

\(8=a×(-2)^2\\8=4a\\a=2\)

よって

\(y=2x^2\)

 

わかるところを図に書き込む!

\(D\)の座標は、\(A(-2,8)\)と \(y\)軸について対称だから

\(D(2,8)\)

 

\(y=2x^2\)に \(x=-1\)を代入して

\(y=2×(-1)^2\\~~=2\)

よって

\(B(-1,2)\)

また、\(C\)の座標は \(B(-1,2)\)と \(y\)軸について対称だから

\(C(1,2)\)

 

二次関数,二等分

 

 

解き方を考える!

「点\(B\)を通り四角形\(ABCD\)の面積を2等分する直線を求めなさい。」より

二等分する直線を\(BE\)とすると

二次関数,二等分

  • 四角形\(ABCD\)の面積を求める
  • 四角形\(ABCD\)の面積の\(\frac{1}{2}\)倍が△\(ABE\)
  • 点\(E\)を求める
  • 直線\(BE\)を求める

 

四角形\(ABCD\)の面積を求める

台形の面積=(上底+下底)×高さ×\(\frac{1}{2}\)

四角形\(ABCD=(4+2)×6×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~~~=6×6×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~~~=18\)

 

四角形\(ABCD\)の面積の\(\frac{1}{2}\)倍が△\(ABE\)

△\(ABE=18×\frac{1}{2}\\~~~~~~~=9\)

 

点\(E\)を求める

三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)

\(9=AE×6×\frac{1}{2}\\9=3AE\\AE=3\)

 

二次関数,二等分

よって

\(E(1,8)\)

 

 

2点から直線の式を求める!

直線\(BE\)を求める

一次関数 ~グラフから関数の式を答える~

\(B(-1,2)\)、\(E(1,8)\)を通るから

傾き\(=\frac{8-2}{1-(-1)}\\=\frac{6}{2}\\=3\)

よって

\(y=3x+b\)

これが \(B(-1,2)\)を通るから

\(2=3×(-1)+b\\2=-3+b\\b=5\)

よって

答え \(y=3x+5\)

 

 

まとめ

二等分する線を実際に引いてみることです☆

そうすれば何をすれば直線の式が求められるか考えることが出来ます!

何かを求めるときは、「必ず理由がある」を大切にしてください!

「直線を求めたいから、この座標を求める必要がある!」みたいな感じです☆

二次関数の利用 ~長方形~


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