相似の問題15 ~テスト・受験対策~
問題 \(AD//BC\)、\(BC=10\)の台形\(ABCD\)があります。２本の対角線\(AC\)と\(DB\)の交点を\(E\)とします。\(AC\)、\(DB\)の中点をそれぞれ\(F\)、\(G\)とし、\(DF\)の延長と\(BC\)の交点を\(H\)とするとき次の問いに答えなさい。
（１）\(\triangle{AED}\)と相似な三角形をすべて答えなさい。
（２）線分\(CH\)、\(GF\)の長さを求めなさい。
（３）\(\triangle{DEF}\)の面積と\(\triangle{ABE}\)の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
もくじ
相似条件を確認しよう！
（１）\(\triangle{AED}\)と相似な三角形をすべて答えなさい。
答え \(\triangle{FEG}\)、\(\triangle{CEB}\)
\(\triangle{FEG}\)
\(\triangle{AED}\)と\(\triangle{FEG}\)について
\(AD//GF\)より錯覚が等しいから
\(\angle{ADE}=\angle{FGE}\)
\(\angle{DAE}=\angle{GFE}\)
よって、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{AED}\)∽\(\triangle{FEG}\) //
\(\triangle{CEB}\)
\(\triangle{AED}\)と\(\triangle{CEB}\)について
\(AD//BC\)より錯覚が等しいから
\(\angle{ADE}=\angle{CBE}\)
\(\angle{DAE}=\angle{BCE}\)
よって、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{AED}\)∽\(\triangle{CEB}\) //
相似を利用して長さを求める！
（２）線分\(CH\)、\(GF\)の長さを求めなさい。
\(CH\)
\(AD//HC\)より
\(\triangle{ADF}\)∽\(\triangle{CHF}\)
よって
\(AD:CH=AF:CF\\3:CH=1:1\\CH=3\)
答え \(3\)
\(GF\)
\(GF//BH\)より
\(\triangle{DGF}\)∽\(\triangle{DBH}\)
\(DG:DB=GF:BH\)
\(BH~\)\(=BC-CH\\=10-3\\=7\)
よって
\(DG:DB=GF:BH\\1:2=GF:7\\2GF=7\\GF=\frac{7}{2}\)
答え \(\frac{7}{2}\)
高さが同じなら底辺の比になる！
（３）\(\triangle{DEF}\)の面積と\(\triangle{ABE}\)の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
\(\triangle{DEF}=S\)とする
\(AD//GF\)より
\(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{FGE}\)
よって
\(AE:FE~\)\(=AD:FG\\=3:\frac{7}{2}\\=6:7\)
◯ 底辺の比が面積比になる！
よって
\(\triangle{DAE}=\frac{6}{7}S\)
\(AD//BC\)より
\(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{CBE}\)
よって
\(DE:BE~\)\(=AD:CB\\=3:10\)
\(\triangle{AED}:\triangle{ABE}=3:10\\\frac{6}{7}S:\triangle{ABE}=3:10\\\frac{2}{7}S:\triangle{ABE}=1:10\\\triangle{ABE}=\frac{20}{7}S\)
よって
\(\triangle{DEF}:\triangle{ABE}~\)\(=S:\frac{20}{7}S\\=7S:20S\\=7:20\)
答え \(7:20\)
