相似の問題15 ~テスト・受験対策~

問題 \(AD//BC\)、\(BC=10\)の台形\(ABCD\)があります。2本の対角線\(AC\)と\(DB\)の交点を\(E\)とします。\(AC\)、\(DB\)の中点をそれぞれ\(F\)、\(G\)とし、\(DF\)の延長と\(BC\)の交点を\(H\)とするとき次の問いに答えなさい。

相似,テスト,受験,対策

(1)\(\triangle{AED}\)と相似な三角形をすべて答えなさい。

(2)線分\(CH\)、\(GF\)の長さを求めなさい。

(3)\(\triangle{DEF}\)の面積と\(\triangle{ABE}\)の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

 

 

相似条件を確認しよう!

(1)\(\triangle{AED}\)と相似な三角形をすべて答えなさい。

相似,テスト,受験,対策

答え \(\triangle{FEG}\)、\(\triangle{CEB}\)

 

\(\triangle{FEG}\)

\(\triangle{AED}\)と\(\triangle{FEG}\)について

\(AD//GF\)より錯覚が等しいから

比が等しいと平行になる!

\(\angle{ADE}=\angle{FGE}\)

\(\angle{DAE}=\angle{GFE}\)

よって、2組の角がそれぞれ等しいから

\(\triangle{AED}\)∽\(\triangle{FEG}\) //

 

相似,テスト,受験,対策

 

\(\triangle{CEB}\)

\(\triangle{AED}\)と\(\triangle{CEB}\)について

\(AD//BC\)より錯覚が等しいから

\(\angle{ADE}=\angle{CBE}\)

\(\angle{DAE}=\angle{BCE}\)

よって、2組の角がそれぞれ等しいから

\(\triangle{AED}\)∽\(\triangle{CEB}\) //

 

 

相似を利用して長さを求める!

(2)線分\(CH\)、\(GF\)の長さを求めなさい。

\(CH\)

相似,蝶々型

\(AD//HC\)より

ピラミッド型と蝶々型を使いこなせ!

\(\triangle{ADF}\)∽\(\triangle{CHF}\)

よって

\(AD:CH=AF:CF\\3:CH=1:1\\CH=3\)

答え \(3\)

 

 

\(GF\)

相似,ピラミッド型

\(GF//BH\)より

ピラミッド型と蝶々型を使いこなせ!

\(\triangle{DGF}\)∽\(\triangle{DBH}\)

\(DG:DB=GF:BH\)

\(BH~\)\(=BC-CH\\=10-3\\=7\)

よって

\(DG:DB=GF:BH\\1:2=GF:7\\2GF=7\\GF=\frac{7}{2}\)

答え \(\frac{7}{2}\)

 

 

高さが同じなら底辺の比になる!

簡単に面積が何倍か求められる方法☆

(3)\(\triangle{DEF}\)の面積と\(\triangle{ABE}\)の面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

相似,面積,問題

\(\triangle{DEF}=S\)とする

\(AD//GF\)より

\(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{FGE}\)

よって

\(AE:FE~\)\(=AD:FG\\=3:\frac{7}{2}\\=6:7\)

◯ 底辺の比が面積比になる!

よって

\(\triangle{DAE}=\frac{6}{7}S\)

相似,面積,問題

\(AD//BC\)より

\(\triangle{ADE}\)∽\(\triangle{CBE}\)

よって

\(DE:BE~\)\(=AD:CB\\=3:10\)

\(\triangle{AED}:\triangle{ABE}=3:10\\\frac{6}{7}S:\triangle{ABE}=3:10\\\frac{2}{7}S:\triangle{ABE}=1:10\\\triangle{ABE}=\frac{20}{7}S\)

よって

\(\triangle{DEF}:\triangle{ABE}~\)\(=S:\frac{20}{7}S\\=7S:20S\\=7:20\)

答え \(7:20\)

相似の問題16 ~テスト・受験対策~


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