相似な図形 ~計算について覚えること~
三角形の相似条件
- ３組の辺の比がすべて等しい
- ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
- ２組の角がそれぞれ等しい
もくじ
絶対に知っていた方がいい！
覚える①
- \(PQ//BC\)ならば \(AP:AB=AQ:AC=PQ:BC\)
なぜか？
\(\triangle{ABC}\)と\(\triangle{APQ}\)について
\(PQ//BC\)より
\(\angle{ABC}=\angle{APQ}\)
\(\angle{ACB}=\angle{AQP}\)
よって、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{ABC}\)∽\(\triangle{APQ}\)
ゆえに
\(AP:AB=AQ:AC=PQ:BC\) //
覚える②
- \(PQ//BC\)ならば \(AP:PB=AQ:QC\)
なぜか？
◯ ちょっと気付きにくいので結論だけ知っていればＯＫです！
点\(P\)を通って、辺\(AC\)に平行な直線が辺\(BC\)と交わる点を\(R\)とすると
\(\triangle{APQ}\)と\(\triangle{PBR}\)について
\(PQ//BC\)より
\(\angle{APQ}=\angle{PBR}\)
\(PR//AC\)より
\(\angle{PAQ}=\angle{BPR}\)
よって、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{APQ}\)∽\(\triangle{PBR}\)
よって
\(AP:PB=AQ:PR\)
四角形\(PRCQ\)は平行四辺形だから
\(PR=QC\)
ゆえに
\(AP:PB=AQ:QC\) //
離れてても大丈夫！
覚える③
- \(ab:bc=de:ef=dg:gh=ij:jk\)
なぜか？
同じなので省略しますね☆
線を伸ばして三角形の相似を証明すればＯＫです！
まとめ
これらを知っているかどうかで、計算の効率が激変します☆
知らないと解けない問題もあるので注意してください！
- \(PQ//BC\)ならば \(AP:AB=AQ:AC=PQ:BC\)
- \(PQ//BC\)ならば \(AP:PB=AQ:QC\)
- \(ab:bc=de:ef=dg:gh=ij:jk\)
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