相似な図形 ~体積比~ (相似な図形に注目せよ！)
- 相似比 \(a:b\)
- 面積比 \(a^2:b^2\)
- 体積比 \(a^3:b^3\)
もくじ
体積をひいて考える！
問題１ 円錐\(P\)を底面に平行な平面で切り、円錐\(Q\)と\(P\)から\(Q\)を取り除いた立体\(A\)に分けます。円錐\(P\)の体積が \(108\pi cm^3\)のとき、次の問いに答えなさい。
（１）円錐\(Q\)の体積を求めなさい。
（２）立体\(A\)の体積を求めなさい。
（１）円錐\(Q\)の体積を求めなさい。
円錐\(P\)と円錐\(Q\)が相似！
相似比が「\(12:8=3:2\)」より
体積比は「\(3^3:2^3\)」
よって
\(~~~~V{\tiny P}:V{\tiny Q}=3^3:2^3\\108\pi:V{\tiny Q}=27:8\\~~~~~4\pi:V{\tiny Q}=1:8\\V{\tiny Q}=32\pi\)
答え \(32\pi cm^3\)
（２）立体\(A\)の体積を求めなさい。
(1)より
\(Q\)の体積は \(32\pi cm^3\)
よって
\(108\pi-32\pi=76\pi\)
答え \(76\pi cm^3\)
比をひいて考える！
問題２ 高さが３等分になるように、円錐を底面に平行な平面で３つの立体にわけました。真ん中の立体の体積が\(602\pi\)のとき、一番下の立体の体積を求めなさい。
一番上の立体\(A\)、一番下の立体\(B\)とすると
円錐小中大の相似比は「\(1:2:3\)」
よって
体積比は「\(1^3:2^3:3^3=1:8:27\)」
これを図に表すと
体積比「\(1^3:2^3:3^3=1:8:27\)」は、円錐のこと！
よって
\(602\pi:V{\tiny B}=7:19\\~~86\pi:V{\tiny B}=1:19\\V{\tiny B}=1634\pi\)
答え \(1634\pi cm^3\)
まとめ
- 体積を求めてから直接ひいてもＯＫ！
- 求めたい比を出してから体積求めてもＯＫ！
どちらの方法でも答えを求めることができます☆
問題によって使い分け、効率的に答えを求めて無駄を省きましょう！
