相似な図形 ~体積比~ (相似な図形に注目せよ!)

  • 相似比 \(a:b\)
  • 面積比 \(a^2:b^2\)
  • 体積比 \(a^3:b^3\)

相似比と面積比と体積比はお友だち☆

 

 

体積をひいて考える!

問題1 円錐\(P\)を底面に平行な平面で切り、円錐\(Q\)と\(P\)から\(Q\)を取り除いた立体\(A\)に分けます。円錐\(P\)の体積が \(108\pi cm^3\)のとき、次の問いに答えなさい。

相似,体積,比

 

(1)円錐\(Q\)の体積を求めなさい。

(2)立体\(A\)の体積を求めなさい。

 

 

(1)円錐\(Q\)の体積を求めなさい。

円錐\(P\)と円錐\(Q\)が相似!

相似比が「\(12:8=3:2\)」より

体積比は「\(3^3:2^3\)」

よって

\(~~~~V{\tiny P}:V{\tiny Q}=3^3:2^3\\108\pi:V{\tiny Q}=27:8\\~~~~~4\pi:V{\tiny Q}=1:8\\V{\tiny Q}=32\pi\)

答え \(32\pi cm^3\)

 

 

(2)立体\(A\)の体積を求めなさい。

(1)より

\(Q\)の体積は \(32\pi cm^3\)

よって

\(108\pi-32\pi=76\pi\)

答え \(76\pi cm^3\)

 

 

 

比をひいて考える!

問題2 高さが3等分になるように、円錐を底面に平行な平面で3つの立体にわけました。真ん中の立体の体積が\(602\pi\)のとき、一番下の立体の体積を求めなさい。

相似,体積,比

 

 

一番上の立体\(A\)、一番下の立体\(B\)とすると

相似,体積,比

円錐小中大の相似比は「\(1:2:3\)」

よって

体積比は「\(1^3:2^3:3^3=1:8:27\)」

これを図に表すと

相似,体積,比

体積比「\(1^3:2^3:3^3=1:8:27\)」は、円錐のこと!

よって

\(602\pi:V{\tiny B}=7:19\\~~86\pi:V{\tiny B}=1:19\\V{\tiny B}=1634\pi\)

答え \(1634\pi cm^3\)

 

 

 

まとめ
  • 体積を求めてから直接ひいてもOK!
  • 求めたい比を出してから体積求めてもOK!

どちらの方法でも答えを求めることができます☆

問題によって使い分け、効率的に答えを求めて無駄を省きましょう!


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