相似の問題⑥　~テスト・受験対策~

問題　$AB//DE$、$AC//DF$、$BC//EF$、$AD\perp AB$、$AD\perp AC$、$AD\perp DE$、$AD\perp DF$で$AB=2$、$AC=1$、$DF=3$、$\angle{BAC}=90°$、$\angle{EDF}=90°$の立体です。この立体の体積が$\frac{52}{3}$であるとき、$AD$の長さを求めなさい。

相似な立体を考えよう！

直線$AD$、$BE$、$CF$は１点で交わる！

直線$AD$、$BE$、$CF$の交点を$O$とすると

$\triangle{ODF}$で、$AC//DF$より

$OA:OD~$$=AC:DF\\=1:3$

相似比「$1:3$」より

体積比「$1^3:3^3=1:27$」

相似比と面積比と体積比はお友だち☆

体積比から体積を求める

$O-ABC:O-DEF=1:27$

$O-ABC$の体積を求める

$O-ABC:ABC-DEF=1:26\\O-ABC:\frac{52}{3}=1:26\\O-ABC:\frac{2}{3}=1:1\\O-ABC=\frac{2}{3}$

$OA$を求める

• $O-ABC$=底面積×高さ×$\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}=2×1×\frac{1}{2}×OA×\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}=OA×\frac{1}{3}\\OA=2$

$AD$を求める

$AC//DF$より

$OA:OD=AC:DF\\OA:OD=1:3$

よって

$OA:AD=1:2$

$OA=2$より

$2:AD=1:2\\AD=4$

答え　$4$

まとめ

「直線$AD$、$BE$、$CF$は１点で交わる」が最大のポイントです！

最初から気がつくことはなかなか難しいです。

しかし、「こんな方法があるんだ！」と知っておけば、次のから使えるようになります！

相似の問題⑦　~テスト・受験対策~