放物線と直線 ~面積比~
基本事項を思い出して解く！
問題 \(A(1,1)\)、\(B(2,0)\)とします。点\(A\)を通る放物線の方程式が \(y=ax^2\)で、放物線上の \(x=2\)に対応する点を\(C\)とするとき、次の問いに答えなさい。
（１）\(a\)の値を求めなさい。
（２）直線\(AB\)の方程式を求めなさい。
（３）放物線と直線\(AB\)の交点で、点\(D\)の座標を求めなさい。
（４）△\(OAD\)と△\(ACD\)の面積比を最も簡単な整数で表しなさい。
（１）\(a\)の値を求めなさい。
通る→代入して式が成り立つ！
\(A(1,1)\)が \(y=ax^2\)を通るから
\(1=a×1^2\\a=1\)
答え \(a=1\)
（２）直線\(AB\)の方程式を求めなさい。
\(A(1,1)\)、\(B(2,0)\)
傾き\(=\frac{0-1}{2-1}\\=-1\)
よって
\(y=-x+b\)
これが \(B(2,0)\)を通るから
\(0=-2+b\\b=2\)
よって
答え \(y=-x+2\)
（３）放物線と直線\(AB\)の交点で、点\(D\)の座標を求めなさい。
交点→連立方程式！
\(\begin{cases} y=x^2…① \\ y=-x+2…②\end{cases}\)
①を②に代入して
\(x^2=-x+2\\x^2+x-2=0\)
\(x^2+x-2=0\\(x+2)(x-1)=0\)
\(x=-2,1\)
点\(D\)は \(x<0\)より
\(x=2\)を①に代入して
\(y=2^2\\~~=4\)
よって
答え \(D(-2,4)\)
面積を求めよう！
（４）△\(OAD\)と△\(ACD\)の面積比を最も簡単な整数で表しなさい。
△\(OAD\)の面積を求める！
一撃では求められないから分割で求める！
直線\(BD\)と \(y\)軸との交点を \(E\)として
直線\(AB\)は \(y=-x+2\)より
\(E(0,2)\)
わかることを図に書き込む！
- △\(OAD=\)△\(ODE+\)△\(OAE\)
△\(OAD=2×2×\frac{1}{2}+2×1×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=2+1\\~~~~~~~~=3\)
△\(ACD\)の面積を求める！
△\(ACD=4×3×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=6\)
よって
\(△ OAD:△ ACD=3:6\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=1:2\)
答え \(△ OAD:△ ACD=1:2\)
まとめ
最後の問題は、面積比を答える問題でした。
今回の問題では「最も簡単な整数で表しなさい。」と書いてありましたが、比を答える問題では、何も書いてなくても”最も簡単な整数の比”で答えるのが一般的です！
