二次関数の利用 ~グラフ系の問題⑦~
ポイント！
- 問題からわかることを図に書き込む
- 通る→代入して式が成り立つ
もくじ
図がない問題はどうする？
問題 点\(A\)、\(B\)は関数 \(y=x^2\)のグラフ上の点で、点\(C\)は関数 \(y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上の点です。\(AC\)、\(BC\)がそれぞれ\(x\)軸、\(y\)軸に平行であるとき次の問いに答えなさい。ただし、点\(A\)の\(y\)座標より点\(B\)の\(y\)座標が大きいとする。
（１）\(A(1,1)\)のとき、点\(B\)の座標を求めなさい。
（２）\(AC:BC=1:9\)のとき、点\(A\)の座標を求めなさい。ただし、点\(A\)の\(x\)座標は正とする。
（１）\(A(1,1)\)のとき、点\(B\)の座標を求めなさい。
簡単な図をかこう！
\(x\)軸に平行→ \(y\)座標が等しい！
\(C\)の座標が求まる！
\(A(1,1)\)より
\(C(Cx,1)\)
通る→代入して式が成り立つ
\(C(Cx,1)\)が \(y=\frac{1}{4}x^2\)を通るから
\(1=\frac{1}{4}×(Cx)^2\\1=\frac{1}{4}Cx^2\\Cx^2=4\\Cx=±2\)
\(y\)軸に平行→ \(x\)座標が等しい！
\(C(2,1)\)のとき
\(B\)の座標は
\(B(2,By)\)となる
これが \(y=x^2\)を通るから
\(By=2^2\\~~~~~=4\)
よって
\(B(2,4)\)
\(C(-2,1)\)のとき
\(B\)の座標は
\(B(-2,By)\)となる
これが \(y=x^2\)を通るから
\(By=(-2)^2\\~~~~~=4\)
よって
\(B(-2,4)\)
以上より
答え \(C(2,1)\)のとき \(B(2,4)\)
\(C(-2,1)\)のとき \(B(-2,4)\)
座標を文字で置いて考えよう！
（２）\(AC:BC=1:9\)のとき、点\(A\)の座標を求めなさい。ただし、点\(A\)の\(x\)座標は正とする。
\(A\)の\(x\)座標を\(t\)とする
\(x=t\)を \(y=x^2\)に代入して
\(y=t^2\)
よって
\(A(t,t^2)\)
\(AC\)が \(x\)軸に平行だから
\(C\)の \(y\)座標が \(t^2\)
\(y=t^2\)を \(y=\frac{1}{4}x^2\)に代入して
\(t^2=\frac{1}{4}x^2\\4t^2=x^2\\x^2=4t^2\\x=±2t\)
よって
\(C(±2t,t^2)\)
\(BC\)が \(y\)軸に平行だから
\(B\)の \(x\)座標が \(±2t\)
\(x=±2t\)を \(y=x^2\)に代入して
\(y=(±2t)^2\\y=4t^2\)
よって
\(B(±2t,4t^2)\)
問題からわかることを図に書き込む
図より
\(AC=2t-t=t\)
\(BC=4t^2-t^2=3t^2\)
「\(AC:BC=1:9\)」より
\(t:3t^2=1:9\\3t^2=9t\\3t^2-9t=0\\3t(t-3)=0\)
\(t=0,3\)
\(t>0\)より
\(t=3\)
答え \(A(3,9)\)
まとめ
\(C(±2t,t^2)\)、\(B(±2t,4t^2)\)が２点ずつあるのは何となく理解できるでしょうか？
放物線は \(y\)軸で線対称になるので、右と左の２点あるという意味です☆
また、
\(t=0,3\)
\(t=0\)は問題に合わない
\(t=0\)では、すべての点が、原点\((0,0)\)になってしまうから問題に合わないという意味です☆
それ以前に「ただし、点\(A\)の\(x\)座標は正とする。」ですね！
