二次関数の利用 ~グラフ系の問題⑦~

ポイント!

  • 問題からわかることを図に書き込む
  • 通る→代入して式が成り立つ

 

 

図がない問題はどうする?

問題 点\(A\)、\(B\)は関数 \(y=x^2\)のグラフ上の点で、点\(C\)は関数 \(y=\frac{1}{4}x^2\)のグラフ上の点です。\(AC\)、\(BC\)がそれぞれ\(x\)軸、\(y\)軸に平行であるとき次の問いに答えなさい。ただし、点\(A\)の\(y\)座標より点\(B\)の\(y\)座標が大きいとする。

(1)\(A(1,1)\)のとき、点\(B\)の座標を求めなさい。

(2)\(AC:BC=1:9\)のとき、点\(A\)の座標を求めなさい。ただし、点\(A\)の\(x\)座標は正とする。

 

 

(1)\(A(1,1)\)のとき、点\(B\)の座標を求めなさい。

簡単な図をかこう!

二次関数,比

 

\(x\)軸に平行→ \(y\)座標が等しい!

\(C\)の座標が求まる!

\(A(1,1)\)より

\(C(Cx,1)\)

 

通る→代入して式が成り立つ

\(C(Cx,1)\)が \(y=\frac{1}{4}x^2\)を通るから

\(1=\frac{1}{4}×(Cx)^2\\1=\frac{1}{4}Cx^2\\Cx^2=4\\Cx=±2\)

 

\(y\)軸に平行→ \(x\)座標が等しい!

\(C(2,1)\)のとき

\(B\)の座標は

\(B(2,By)\)となる

これが \(y=x^2\)を通るから

\(By=2^2\\~~~~~=4\)

よって

\(B(2,4)\)

 

\(C(-2,1)\)のとき

\(B\)の座標は

\(B(-2,By)\)となる

これが \(y=x^2\)を通るから

\(By=(-2)^2\\~~~~~=4\)

よって

\(B(-2,4)\)

 

以上より

答え \(C(2,1)\)のとき \(B(2,4)\)
        \(C(-2,1)\)のとき \(B(-2,4)\)

 

 

 

座標を文字で置いて考えよう!

(2)\(AC:BC=1:9\)のとき、点\(A\)の座標を求めなさい。ただし、点\(A\)の\(x\)座標は正とする。

\(A\)の\(x\)座標を\(t\)とする

二次関数,比

\(x=t\)を \(y=x^2\)に代入して

\(y=t^2\)

よって

\(A(t,t^2)\)

 

\(AC\)が \(x\)軸に平行だから

\(C\)の \(y\)座標が \(t^2\)

\(y=t^2\)を \(y=\frac{1}{4}x^2\)に代入して

\(t^2=\frac{1}{4}x^2\\4t^2=x^2\\x^2=4t^2\\x=±2t\)

よって

\(C(±2t,t^2)\)

 

二次関数,比

\(BC\)が \(y\)軸に平行だから

\(B\)の \(x\)座標が \(±2t\)

\(x=±2t\)を \(y=x^2\)に代入して

\(y=(±2t)^2\\y=4t^2\)

よって

\(B(±2t,4t^2)\)

 

問題からわかることを図に書き込む

二次関数,比

図より

\(AC=2t-t=t\)

\(BC=4t^2-t^2=3t^2\)

 

「\(AC:BC=1:9\)」より

\(t:3t^2=1:9\\3t^2=9t\\3t^2-9t=0\\3t(t-3)=0\)

比例式とは

\(t=0,3\)

\(t>0\)より

\(t=3\)

 

答え \(A(3,9)\)

 

 

 

まとめ

\(C(±2t,t^2)\)、\(B(±2t,4t^2)\)が2点ずつあるのは何となく理解できるでしょうか?

放物線は \(y\)軸で線対称になるので、右と左の2点あるという意味です☆

 

また、

\(t=0,3\)

\(t=0\)は問題に合わない

\(t=0\)では、すべての点が、原点\((0,0)\)になってしまうから問題に合わないという意味です☆

それ以前に「ただし、点\(A\)の\(x\)座標は正とする。」ですね!

二次関数の利用 ~グラフ系の問題⑧~


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