二次関数 ~入試対策~
もくじ
問題の図が「正確」とは限らない！
問題 関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に２点\(A\)、\(B\)があります。\(x\)座標をそれぞれ\(-4\)、\(4\)とするとき次の問いに答えなさい。
（１）△\(AOB\)の面積を求めなさい。
（２）点\(B\)を通り、△\(AOB\)の面積を二等分する直線の方程式を求めなさい。
（１）△\(AOB\)の面積を求めなさい。
図をかいて考えよう！
\(x=-4\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(y=\frac{1}{2}×(-4)^2\\~~=8\)
よって
\(A(-4,8)\)
\(x=4\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して
\(y=\frac{1}{2}×4^2\\~~=8\)
よって
\(B(4,8)\)
問題の図が正確でないから、見た目の長さが異なる！
- 三角形の面積＝底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)
△\(AOB=8×8×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=32\)
答え \(32\)
（２）点\(B\)を通り、△\(AOB\)の面積を二等分する直線の方程式を求めなさい。
- 三角形の頂点を通り、面積を二等分するときは必ず中点を通る！
- \(A(Ax,Ay),B(Bx,By)\)の中点は \(M(\frac{Ax+Bx}{2},\frac{Ay+By}{2})\)
すぐに図をかいて、目で解く！
\(OA\)の中点を\(M\)として
\(~~~M(\frac{-4+0}{2},\frac{8+0}{2})\\=M(-2,4)\)
\(A(-4,8)\)、\(O(0,0)\)
直線\(0B\)を求める
\(M(-2,4)\)、\(B(4,8)\)より
傾き\(=\frac{8-4}{4-(-2)}\\=\frac{4}{6}\\=\frac{2}{3}\)
よって
\(y=\frac{2}{3}x+b\)
これが \(M(-2,4)\)を通るから
◯ \(B(4,8)\)でもＯＫ！
\(4=\frac{2}{3}×(-2)+b\\4=-\frac{4}{3}+b\\4+\frac{4}{3}=b\\b=\frac{16}{3}\)
よって
答え \(y=\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\)
まとめ
基本をしっかり押さえていれば解ける問題だと思います☆
- 三角形の面積の公式
- 二等分になるときはどんなとき
- 中点の求め方
