二次関数 ~入試対策~

二次関数 ~めっちゃわかる基本!~

 

 

 

問題の図が「正確」とは限らない!

問題 関数 \(y=\frac{1}{2}x^2\)のグラフ上に2点\(A\)、\(B\)があります。\(x\)座標をそれぞれ\(-4\)、\(4\)とするとき次の問いに答えなさい。

二次関数,入試

(1)△\(AOB\)の面積を求めなさい。

(2)点\(B\)を通り、△\(AOB\)の面積を二等分する直線の方程式を求めなさい。

 

 

(1)△\(AOB\)の面積を求めなさい。

図をかいて考えよう!

二次関数,入試

 

\(x=-4\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(y=\frac{1}{2}×(-4)^2\\~~=8\)

よって

\(A(-4,8)\)

 

\(x=4\)を \(y=\frac{1}{2}x^2\)に代入して

\(y=\frac{1}{2}×4^2\\~~=8\)

よって

\(B(4,8)\)

 

二次関数,入試

問題の図が正確でないから、見た目の長さが異なる!

  • 三角形の面積=底辺×高さ×\(\frac{1}{2}\)

△\(AOB=8×8×\frac{1}{2}\\~~~~~~~~=32\)

答え \(32\)

 

 

(2)点\(B\)を通り、△\(AOB\)の面積を二等分する直線の方程式を求めなさい。

  • 三角形の頂点を通り、面積を二等分するときは必ず中点を通る!
  • \(A(Ax,Ay),B(Bx,By)\)の中点は \(M(\frac{Ax+Bx}{2},\frac{Ay+By}{2})\)

中点を簡単に求める方法☆

 

すぐに図をかいて、目で解く!

\(OA\)の中点を\(M\)として

二次関数,入試

\(~~~M(\frac{-4+0}{2},\frac{8+0}{2})\\=M(-2,4)\)

\(A(-4,8)\)、\(O(0,0)\)

 

直線\(0B\)を求める

一次関数 ~グラフから関数の式を答える~

\(M(-2,4)\)、\(B(4,8)\)より

傾き\(=\frac{8-4}{4-(-2)}\\=\frac{4}{6}\\=\frac{2}{3}\)

よって

\(y=\frac{2}{3}x+b\)

これが \(M(-2,4)\)を通るから

◯ \(B(4,8)\)でもOK!

\(4=\frac{2}{3}×(-2)+b\\4=-\frac{4}{3}+b\\4+\frac{4}{3}=b\\b=\frac{16}{3}\)

よって

答え \(y=\frac{2}{3}x+\frac{16}{3}\)

 

 

 

まとめ

基本をしっかり押さえていれば解ける問題だと思います☆

  • 三角形の面積の公式
  • 二等分になるときはどんなとき
  • 中点の求め方

二次関数の利用 ~面積を2等分する~


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