相似な図形 ~面積比の問題②~
もくじ
相似比と面積比を利用
問題１ 四角形\(ABCD\)が\(AD//BC\)で、\(AD:BC=3:5\)のとき次の問いに答えなさい。
（１）\(\triangle{OBC}\)の周の長さは、\(\triangle{ODA}\)の周の長さの何倍か求めなさい。
（２）\(\triangle{OBC}\)、\(\triangle{OAB}\)の面積はそれぞれ\(\triangle{ODA}\)の面積の何倍か答えなさい。
（１）\(\triangle{OBC}\)の周の長さは、\(\triangle{ODA}\)の周の長さの何倍か求めなさい。
\(AD//BC\)より
\(\triangle{OBC}\)∽\(\triangle{ODA}\)
よって、相似比が「\(5:3\)」だから
答え \(\frac{5}{3}\)倍
（２）\(\triangle{OBC}\)、\(\triangle{OAB}\)の面積はそれぞれ\(\triangle{ODA}\)の面積の何倍か答えなさい。
\(\triangle{OBC}\)
(1)より、相似比が「\(5:3\)」だから
面積は「\(5^2:3^2\)」
よって
\(\triangle{OBC}:\triangle{OAB}=25:9\)
ゆえに
答え \(\frac{25}{9}\)倍
\(\triangle{OAB}\)
\(\triangle{OAB}:\triangle{OBC}=3:5\\\triangle{OAB}:25=3:5\\\triangle{OAB}:5=3:1\\\triangle{OAB}=15\)
よって
\(\triangle{OAB}:\triangle{ODA}=15:9\)
ゆえに
答え \(\frac{5}{3}\)倍
底辺の比は面積比
問題２ 平行四辺形\(ABCD\)で、\(BE:EC=1:2\)、\(AE\)と\(BD\)の交点を\(F\)、\(\triangle{BEF}\)の面積を\(4cm^2\)とするとき次の問いに答えなさい。
（１）\(\triangle{AFD}\)の面積を求めなさい。
（２）平行四辺形\(ABCD\)の面積を求めなさい。
（１）\(\triangle{AFD}\)の面積を求めなさい。
\(AD//BC\)より
\(\triangle{AFD}\)∽\(\triangle{EFB}\)
よって
\(AD:EB=3:1\)
相似比が「\(3:1\)」だから
面積比は「\(3^2:1^1\)」
よって
面積比「\(9:1\)」
\(\triangle{AFD}:\triangle{EFB}=9:1\\\triangle{AFD}:4=9:1\\\triangle{AFD}=36\)
答え \(36~cm^2\)
（２）平行四辺形\(ABCD\)の面積を求めなさい。
\(\triangle{EFB}=1\)とすると
\(\triangle{AFD}\)∽\(\triangle{EFB}\)より
\(AF:EF=3:1\)
よって
\(\triangle{ABF}=3\)
\(\triangle{ABD}~\)\(=\triangle{ABF}+\triangle{AFD}\\=3+9\\=12\)
平行四辺形\(ABCD~\)\(=\triangle{ABD}×2\\=12×2\\=24\)
よって、平行四辺形\(ABCD\)の面積は\(\triangle{EFB}\)の\(24\)倍だから
\(4×24=96\)
答え \(96~cm^2\)
まとめ
- 比の計算でミスが起こらないよう注意しましょう！
- 相似比と面積比の関係をしっかり覚えてください！
