おうぎ形の問題 ~お決まりの方程式~
半径\(r\)、中心角\(a°\)のおうぎ形の弧の長さを\(ℓ\)、面積を\(S\)とすると
- 弧の長さ・・・\(ℓ=2πr×\frac{a}{360}\)
- 面積 ・・・\(S=πr^2×\frac{a}{360}\)
もくじ
「弧の長さ」と「周の長さ」に注意する！
問題１ 次の図でおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
- 弧の長さ・・・\(ℓ=2πr×\frac{a}{360}\)
\(r=8\)、\(a=45\)だから
\(2π×8×\frac{45}{360}\\=2π×8×\frac{1}{8}\\=2π\)
答え \(2π~cm\)
問題２ 半径\(5cm\)、中心角\(144°\)のおうぎ形について周の長さと面積を求めなさい。
周の長さ
- 弧の長さ・・・\(ℓ=2πr×\frac{a}{360}\)
\(r=5\)、\(a=144\)だから
弧の長さを求めると
\(2π×5×\frac{144}{360}\\=2π×5×\frac{24}{60}\\=2π×\frac{24}{12}\\=2π×2\\=4π\)
周の長さは周り１周分！
「弧の長さ＋半径＋半径」
\(4π+5+5=4π+10\)
答え \(4π+10~cm\)
面積
- 面積・・・\(S=πr^2×\frac{a}{360}\)
\(r=5\)、\(a=144\)だから
\(π×5^2×\frac{144}{360}\\=π×5^2×\frac{24}{60}\\=π×5×\frac{24}{12}\\=π×5×2\\=10π\)
答え \(10π~cm^2\)
方程式を利用する！
問題３ 半径\(6cm\)、弧の長さ\(4πcm\)のおうぎ形について中心角と面積を求めなさい。
中心角
おうぎ形の弧の長さの求め方に代入する！
- 弧の長さ・・・\(ℓ=2πr×\frac{a}{360}\)
\(r=6\)、\(ℓ=4π\)だから
中心角を\(a\)とすると
\(4π=2π×6×\frac{a}{360}\\4π=2π×\frac{a}{60}\\4π=\frac{a}{30}π\\a=120\)
答え \(120°\)
面積
- 面積・・・\(S=πr^2×\frac{a}{360}\)
中心角が\(120°\)とわかったから
\(r=6\)、\(a=120\)より
\(π×6^2×\frac{120}{360}\\=π×6×6×\frac{1}{3}\\=π×6×2\\=12π\)
答え \(12π~cm^2\)
まとめ
おうぎ形の問題のパターンは決まっているので、慣れるまで問題を解きまくりましょう！
必ず知っておくこと
半径\(r\)、中心角\(a°\)のおうぎ形の弧の長さを\(ℓ\)、面積を\(S\)とすると
- 弧の長さ・・・\(ℓ=2πr×\frac{a}{360}\)
- 面積 ・・・\(S=πr^2×\frac{a}{360}\)
