相似の問題14 ~テスト・受験対策~
問題 図１の四角形\(ABCD\)が長方形のとき次の問いに答えなさい。
（１）図１において、\(AB=BP\)、\(\triangle{BAP}=a°\)のとき\(\angle{PBC}\)の大きさを\(a\)を使って表しなさい。
（２）図２は、図１において対角線\(AC\)と線分\(BP\)の交点を\(Q\)とした場合を表しています。次の問いに答えなさい。
（ア）\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\)を証明しなさい。
（イ）図２において、点Cを通り線分\(AP\)に平行な直線をひき、線分\(BP\)との交点を\(R\)とします。\(CP:PD=2:1\)のとき、\(PB:QR\)を求めなさい。
もくじ
二等辺三角形に気づく
（１）図１において、\(AB=BP\)、\(\triangle{BAP}=a°\)のとき\(\angle{PBC}\)の大きさを\(a\)を使って表しなさい。
問題文からわかることを図に書き込む！
\(\triangle{BAP}\)は二等辺三角形だから
\(\angle{BPA}=\angle{BAP}=a°\)
三角形の内角の和が\(180°\)より
\(\angle{ABP}+a°+a°=180°\\\angle{ABP}=180°-a°-a°\\\angle{ABP}=180°-2a°\)
答え \(180°-2a°\)
王道のパターン
（２）図２は、図１において対角線\(AC\)と線分\(BP\)の交点を\(Q\)とした場合を表しています。次の問いに答えなさい。
（ア）\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\)を証明しなさい。
（イ）図２において、点Cを通り線分\(AP\)に平行な直線をひき、線分\(BP\)との交点を\(R\)とします。\(CP:PD=2:1\)のとき、\(PB:QR\)を求めなさい。
（ア）\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\)を証明しなさい。
\(\triangle{ABQ}\)と\(\triangle{CPQ}\)について
\(AB//PC\)より
\(\angle{BAQ}=\angle{PCQ}\)
\(\angle{ABQ}=\angle{CPQ}\)
よって、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle{ABQ}\)∽\(\triangle{CPQ}\) //
比を揃える
（イ）図２において、点Cを通り線分\(AP\)に平行な直線をひき、線分\(BP\)との交点を\(R\)とします。\(CP:PD=2:1\)のとき、\(PB:QR\)を求めなさい。
\(AB//PC\)より
\(PQ:BQ=PC:BA=2:3\)
\(AP//RC\)より
\(PQ:QR=AQ:QC=3:2\)
よって
\(PQ\)の比を「６」に揃える！
よって
\(PB:QR=15:4\)
答え \(15:4\)
